Questão 4: O Dipolo Elétrico na Linha de Carga

Considere um fio fino de comprimento 2L com densidade linear de carga \lambda constante.
  • Determine o potencial elétrico em um ponto “P” situado sobre a mediatriz do fio a uma distância " y ".
  • Mostre que, para distâncias muito grandes ( L \ll y ), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual. Qual seria o termo corretivo de ordem superior se a carga total fosse zero, mas o fio possuísse um momento de dipolo?

Passo 1

O enunciado dá um fio fino de comprimento 2L com densidade linear de carga constante \lambda. O ponto P está sobre a mediatriz do fio, a uma distância y do centro do fio (ou seja, o ponto P situa-se a uma distância perpendicular y do meio do segmento de comprimento 2L).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o potencial elétrico V no ponto P (usar a densidade linear \lambda e a geometria dada).
  • Mostrar que, para distâncias muito grandes ( L \ll y), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual; identificar esse comportamento assintótico.
  • Indicar qual seria o termo corretivo de ordem superior no caso em que a carga total fosse zero, mas o fio possuísse um momento de dipolo (ou seja, discutir o termo dipolar no desenvolvimento multipolar).
Informações relevantes fornecidas:
  • Comprimento do fio: 2L.
  • Densidade linear de carga: \lambda (constante para a primeira parte).
  • Ponto de observação P: na mediatriz, a distância perpendicular do centro do fio é y.
  • Símbolos físicos que usaremos: constante dielétrica do vácuo \epsilon_0.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (com explicação didática curta):
  • Potencial de uma carga pontual q a uma distância r é
V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q}{r}.
Isto é a base: para distribuições contínuas de carga, dividimos a distribuição em pequenos elementos dq e somamos (integral) as contribuições dV=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{r}. Esse é o princípio da superposição elétrica.
  • Para uma densidade linear \lambda em um fio, cada elemento de comprimento dx tem carga dq=\lambda\,dx.
  • Geometria: colocar o fio ao longo do eixo x, centrado na origem, variando x\in[-L,L]. O ponto P está em (0,y). A distância entre um elemento em x e P é
r(x)=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Portanto a contribuição infinitesimal ao potencial em P é
dV(x)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{\lambda\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}.
A integral total é a soma de dV(x) sobre x\in[-L,L].

Passo 3

Montar a integral do potencial e usar simetria para simplificar:
V(y)=\dfrac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{-L}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}.
A função integranda é par em x (pois depende de x^2), então podemos usar simetria:
V(y)=\dfrac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\int_{0}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}} = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{0}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle\int_{0}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 4

Calcular a integral primitiva (a «aula» rápida sobre essa integral):
  • Fórmula conhecida (pode ser encontrada por substituição trigonométrica ou hiperbólica): a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} em x é
\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}} = \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln\!\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right)+C.
Explicação curta de por que: usando a substituição x=y\operatorname{sinh} t \sqrt{x^2+y^2}=y\operatorname{cosh} t e dx = y\operatorname{cosh} t\,dt, então a integral reduz para \int dt = t, ou seja t=\operatorname{arsinh}(x/y). Alternativamente a expressão em logaritmo resulta da identidade de \operatorname{arsinh}.
Aplicando os limites 0 a L:
\int_{0}^{L}\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}} = \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right) - \operatorname{arsinh}(0) = \operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right),
pois \operatorname{arsinh}(0)=0.

Passo 5

Substituir na expressão do potencial:
V(y) = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right).
Podemos também escrever em forma logarítmica usando \operatorname{arsinh} z = \ln(z+\sqrt{1+z^2}). Assim
V(y) = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\ln\!\left(\dfrac{L+\sqrt{L^2+y^2}}{y}\right).
Essa é a expressão fechada do potencial no ponto P sobre a mediatriz a distância y do centro.
Comentário físico curto: para \lambda>0 o potencial é positivo e diminui com y; para \lambda<0 inverte o sinal.

Passo 6

Obter o campo elétrico E (direção e módulo) a partir do potencial:
  • O campo na mediatriz só tem componente na direção y (componentes horizontais se cancelam por simetria). Podemos obter E_y por
E_y(y) = -\dfrac{dV}{dy}.
Vamos derivar V(y)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right). Usando derivada de \operatorname{arsinh}(u) que é u'/( \sqrt{1+u^2}), com u=L/y e u'=-L/y^2, obtemos
\dfrac{d}{dy}\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right) = \dfrac{-L/y^2}{\sqrt{1+(L/y)^2}} = -\dfrac{L}{y^2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+L^2/y^2}} = -\dfrac{L}{y\sqrt{y^2+L^2}}.
Portanto
E_y(y) = -\dfrac{dV}{dy} = -\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{L}{y\sqrt{y^2+L^2}}\right) = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\dfrac{L}{y\sqrt{y^2+L^2}}.
Direção: para \lambda>0 o campo aponta no sentido negativo de y se definirmos E_y positivo para cima? Aqui tomamos E_y como magnitude com sinal positivo indicando que o campo aponta em direção ao fio (i.e., para o centro) se \lambda>0. Se preferir a forma vetorial para o ponto em y>0:
\mathbf{E}(y) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\dfrac{L}{y\sqrt{y^2+L^2}}\,\hat{\mathbf{y}}
(se \hat{\mathbf{y}} aponta para y>0; o sinal mostra a direção para o fio para \lambda>0).
Também é possível obter o mesmo E_y integrando diretamente a contribuição de cada dq (com fator geométrico y/r^3); o resultado coincide com a derivada do potencial.

Passo 7

Comportamento para y\gg L (expansão assintótica) — mostrar que se comporta como carga pontual:
  • Para y\gg L é conveniente expandir \operatorname{arsinh}(L/y) em série para pequeno argumento z=L/y. A série de \operatorname{arsinh} z é
\operatorname{arsinh} z = z - \dfrac{z^3}{6} + \mathcal{O}(z^5).
Substituindo z=L/y na expressão do potencial:
V(y)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{L}{y} - \dfrac{1}{6}\dfrac{L^3}{y^3} + \mathcal{O}\!\left(\dfrac{L^5}{y^5}\right)\right).
O termo dominante é
V(y) \approx \dfrac{\lambda L}{2\pi\epsilon_0}\,\dfrac{1}{y}.
Lembrando que a carga total do fio é Q=2L\lambda, o potencial do termo dominante pode ser reescrito como
V(y) \approx \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{1}{y},
que é exatamente o potencial de uma carga pontual Q situada no centro do fio visto a distância y. Portanto, para y\gg L o potencial (e o campo) se comportam como os de uma carga pontual de carga total Q.
Para o campo, derivando a expansão de V ou expandindo diretamente a expressão de E_y, o termo principal do campo é
E_y(y) \approx \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{1}{y^2},
o que é o campo de uma carga pontual (o sinal indica direção radial apropriada).
O primeiro termo corretivo na expansão do potencial (quando \lambda constante) é o termo de ordem 1/y^3:
V(y) = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{y} \;-\; \dfrac{\lambda L^3}{12\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{y^3} + \mathcal{O}\!\left(\dfrac{L^5}{y^5}\right).
Esse termo \propto 1/y^3 reflete o efeito do tamanho finito da distribuição (na ausência de termos dipolares).

Passo 8

Caso em que a carga total é zero, mas há momento de dipolo — desenvolvimento multipolar (explicação didática e final):
  • Em termos gerais, para uma distribuição de cargas localizada, a expansão multipolar do potencial para grandes distâncias r é
V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{Q}{r} + \dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2} + \mathcal{O}\!\left(\dfrac{1}{r^3}\right)\right),
onde
Q=\int \rho(\mathbf{r}')\,d^3r' \quad\text{(carga total)}
e
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}'\,\rho(\mathbf{r}')\,d^3r' \quad\text{(momento de dipolo)}.
  • Para uma distribuição linear ao longo do eixo x com densidade \lambda(x) a fórmula do momento de dipolo (com origem no centro do fio) é
p_x = \int_{-L}^{L} x\,\lambda(x)\,dx.
Se \lambda for constante, p_x=0. Mas se a carga total for zero (por exemplo distribuição com sinais distintos) e p_x\neq 0, então o termo monopolar ( Q/r) desaparece e o termo dominante do potencial distante é o dipolar:
V(\mathbf{r}) \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
No ponto P da mediatriz estamos em \mathbf{r}=y\hat{\mathbf{y}}, logo \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{y}}. Assim o termo dipolar vale
V(y)\big|_{\text{dip}} \approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{p_y}{y^2},
onde p_y é a componente do momento de dipolo ao longo de \hat{\mathbf{y}}.
  • Observação geométrica importante: se o fio está sobre o eixo x e o momento de dipolo for apenas ao longo de x (isto é, \mathbf{p}=p_x\hat{\mathbf{x}}), então \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=p_x(\hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\mathbf{y}})=0 no ponto da mediatriz. Isso significa que, nesse caso particular, mesmo tendo dipolo não se observa o termo dipolar na mediatriz; o próximo termo não-nulo pode ser o quadrupolar, que decai como 1/r^3 no potencial (campo como 1/r^4). Portanto:
    • Se houver componente de dipolo perpendicular à mediatriz (i.e., p_y\neq0), o termo corretivo dominante quando Q=0 será
    V(y)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{p_y}{y^2},e o campo associado escala como \sim 1/y^3.
    • Se o dipolo estiver alinhado com o fio (somente p_x\neq0), então \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=0 na mediatriz e o termo dipolar desaparece ali; o primeiro termo não-nulo será de ordem superior (quadrupolo), com potencial \sim 1/y^3.
Resumo físico: monopolo \sim 1/r (campo \sim1/r^2); dipolo \sim 1/r^2 (campo \sim1/r^3); quadrupolo \sim 1/r^3 (campo \sim1/r^4), etc. Se Q=0 e \mathbf{p}\neq0, o termo dipolar é o corretivo dominante (se não for anulado pela geometria).

Resposta

\displaystyle V(y)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right) = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\ln\!\left(\dfrac{L+\sqrt{L^2+y^2}}{y}\right).
Para y\gg L: o potencial e o campo se comportam como os de uma carga pontual Q=2L\lambda, isto é
V(y)\approx \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{y},\qquad E(y)\approx \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{y^2},
com primeiro termo corretivo no potencial (para \lambda constante) -\dfrac{\lambda L^3}{12\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{y^3}+\mathcal{O}(y^{-5}).
Se a carga total Q for zero mas houver momento de dipolo \mathbf{p}, o termo corretivo dominante a grandes distâncias é o termo dipolar
V(\mathbf{r})\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2},
isto é, na mediatriz V(y)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p_y}{y^2} (se p_y\neq0); se o dipolo estiver alinhado com o fio ( p paralelo a x) esse termo dipolar é nulo na mediatriz e o próximo termo dominante será o quadrupolar \sim 1/y^3.

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