Considere um fio fino de comprimento 2L com densidade linear de carga \lambda constante.
Determine o potencial elétrico em um ponto “P” situado sobre a mediatriz do fio a uma distância " y ".
Mostre que, para distâncias muito grandes ( L \ll y ), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual. Qual seria o termo corretivo de ordem superior se a carga total fosse zero, mas o fio possuísse um momento de dipolo?
Passo 1
O enunciado dá um fio fino de comprimento 2L com densidade linear de carga constante \lambda. O ponto P está sobre a mediatriz do fio, a uma distância y do centro do fio (ou seja, o ponto P situa-se a uma distância perpendicular y do meio do segmento de comprimento 2L).
O que o enunciado pede:
Determinar o potencial elétrico V no ponto P (usar a densidade linear \lambda e a geometria dada).
Mostrar que, para distâncias muito grandes (L \ll y), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual; identificar esse comportamento assintótico.
Indicar qual seria o termo corretivo de ordem superior no caso em que a carga total fosse zero, mas o fio possuísse um momento de dipolo (ou seja, discutir o termo dipolar no desenvolvimento multipolar).
Informações relevantes fornecidas:
Comprimento do fio: 2L.
Densidade linear de carga: \lambda (constante para a primeira parte).
Ponto de observação P: na mediatriz, a distância perpendicular do centro do fio é y.
Símbolos físicos que usaremos: constante dielétrica do vácuo \epsilon_0.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (com explicação didática curta):
Potencial de uma carga pontual q a uma distância r é
V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{q}{r}.
Isto é a base: para distribuições contínuas de carga, dividimos a distribuição em pequenos elementos dq e somamos (integral) as contribuições dV=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{r}. Esse é o princípio da superposição elétrica.
Para uma densidade linear \lambda em um fio, cada elemento de comprimento dx tem carga dq=\lambda\,dx.
Geometria: colocar o fio ao longo do eixo x, centrado na origem, variando x\in[-L,L]. O ponto P está em (0,y). A distância entre um elemento em x e P é
r(x)=\sqrt{x^2+y^2}.
Portanto a contribuição infinitesimal ao potencial em P é
Explicação curta de por que: usando a substituição x=y\operatorname{sinh} t dá \sqrt{x^2+y^2}=y\operatorname{cosh} t e dx = y\operatorname{cosh} t\,dt, então a integral reduz para \int dt = t, ou seja t=\operatorname{arsinh}(x/y). Alternativamente a expressão em logaritmo resulta da identidade de \operatorname{arsinh}.
Essa é a expressão fechada do potencial no ponto P sobre a mediatriz a distância y do centro.
Comentário físico curto: para \lambda>0 o potencial é positivo e diminui com y; para \lambda<0 inverte o sinal.
Passo 6
Obter o campo elétrico E (direção e módulo) a partir do potencial:
O campo na mediatriz só tem componente na direção y (componentes horizontais se cancelam por simetria). Podemos obter E_y por
E_y(y) = -\dfrac{dV}{dy}.
Vamos derivar V(y)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\operatorname{arsinh}\!\left(\dfrac{L}{y}\right). Usando derivada de \operatorname{arsinh}(u) que é u'/( \sqrt{1+u^2}), com u=L/y e u'=-L/y^2, obtemos
Direção: para \lambda>0 o campo aponta no sentido negativo de y se definirmos E_y positivo para cima? Aqui tomamos E_y como magnitude com sinal positivo indicando que o campo aponta em direção ao fio (i.e., para o centro) se \lambda>0. Se preferir a forma vetorial para o ponto em y>0:
(se \hat{\mathbf{y}} aponta para y>0; o sinal mostra a direção para o fio para \lambda>0).
Também é possível obter o mesmo E_y integrando diretamente a contribuição de cada dq (com fator geométrico y/r^3); o resultado coincide com a derivada do potencial.
Passo 7
Comportamento para y\gg L (expansão assintótica) — mostrar que se comporta como carga pontual:
Para y\gg L é conveniente expandir \operatorname{arsinh}(L/y) em série para pequeno argumento z=L/y. A série de \operatorname{arsinh} z é
\operatorname{arsinh} z = z - \dfrac{z^3}{6} + \mathcal{O}(z^5).
que é exatamente o potencial de uma carga pontual Q situada no centro do fio visto a distância y. Portanto, para y\gg L o potencial (e o campo) se comportam como os de uma carga pontual de carga total Q.
Para o campo, derivando a expansão de V ou expandindo diretamente a expressão de E_y, o termo principal do campo é
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}'\,\rho(\mathbf{r}')\,d^3r' \quad\text{(momento de dipolo)}.
Para uma distribuição linear ao longo do eixo x com densidade \lambda(x) a fórmula do momento de dipolo (com origem no centro do fio) é
p_x = \int_{-L}^{L} x\,\lambda(x)\,dx.
Se \lambda for constante, p_x=0. Mas se a carga total for zero (por exemplo distribuição com sinais distintos) e p_x\neq 0, então o termo monopolar (Q/r) desaparece e o termo dominante do potencial distante é o dipolar:
onde p_y é a componente do momento de dipolo ao longo de \hat{\mathbf{y}}.
Observação geométrica importante: se o fio está sobre o eixo x e o momento de dipolo for apenas ao longo de x (isto é, \mathbf{p}=p_x\hat{\mathbf{x}}), então \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=p_x(\hat{\mathbf{x}}\cdot\hat{\mathbf{y}})=0 no ponto da mediatriz. Isso significa que, nesse caso particular, mesmo tendo dipolo não se observa o termo dipolar na mediatriz; o próximo termo não-nulo pode ser o quadrupolar, que decai como 1/r^3 no potencial (campo como 1/r^4). Portanto:
Se houver componente de dipolo perpendicular à mediatriz (i.e., p_y\neq0), o termo corretivo dominante quando Q=0 será
V(y)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\dfrac{p_y}{y^2},e o campo associado escala como \sim 1/y^3.
Se o dipolo estiver alinhado com o fio (somente p_x\neq0), então \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=0 na mediatriz e o termo dipolar desaparece ali; o primeiro termo não-nulo será de ordem superior (quadrupolo), com potencial \sim 1/y^3.
Resumo físico: monopolo \sim 1/r (campo \sim1/r^2); dipolo \sim 1/r^2 (campo \sim1/r^3); quadrupolo \sim 1/r^3 (campo \sim1/r^4), etc. Se Q=0 e \mathbf{p}\neq0, o termo dipolar é o corretivo dominante (se não for anulado pela geometria).
isto é, na mediatriz V(y)\approx \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p_y}{y^2} (se p_y\neq0); se o dipolo estiver alinhado com o fio (p paralelo a x) esse termo dipolar é nulo na mediatriz e o próximo termo dominante será o quadrupolar \sim 1/y^3.