Questão 4. Derivando y=C x+2 C^{2}, determinando C=\frac{d y}{d x}, e substituindo esse valor na primitiva, mostre que
2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a família de retas
y = C\,x + 2\,C^{2}
e pede para obter a equação diferencial eliminando o parâmetro C. O conteúdo aqui é eliminação de parâmetro pela derivação: vamos derivar em relação a x, isolar C em função de \frac{dy}{dx} e depois substituir de volta na expressão original.

Passo 2

Derivando a relação y = Cx + 2C^{2} em relação a x, como C é constante, obtemos
\frac{dy}{dx} = C.

Passo 3

Isolamos o parâmetro C a partir da derivada:
C = \frac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituímos C = \frac{dy}{dx} na expressão original y = Cx + 2C^{2}, ficando
y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}.

Passo 5

Reorganizando para trazer todos os termos ao mesmo lado, temos
y - x\left(\frac{dy}{dx}\right) - 2\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 0.
Multiplicando por -1, obtemos a forma final
2\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0.

Resposta

2\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0.

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