Questão 2. Mostre que a equação diferencial
\left|\frac{d y}{d x}\right|+|y|+1=0
não possui solução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe função y(x) que satisfaça em algum ponto a equação diferencial
\left|\frac{dy}{dx}\right| + |y| + 1 = 0.
O conteúdo principal é usar propriedades de valor absoluto e desigualdades simples para verificar que o lado esquerdo nunca pode ser zero.

Passo 2

Para todo x e qualquer função y(x) (supondo-a diferenciável no ponto em questão), vale
\left|\frac{dy}{dx}\right| \ge 0 \quad\text{e}\quad |y| \ge 0.
Somando-se esses termos com 1, obtemos
\left|\frac{dy}{dx}\right| + |y| + 1 \;\ge\; 0 + 0 + 1 = 1.
Como o lado esquerdo é sempre maior ou igual a 1, ele jamais pode ser igual a 0. Isso gera contradição com a equação proposta.

Resposta

Não existe solução para a equação diferencial dada.

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