Questão 3. Verifique que a função y=y(x) dada implicitamente pela relação (y-C)^{2}=C x é solução da equação diferencial
4 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+2 x \frac{d y}{d x}-y=0
Achar as equações das curvas integrais que passam pelo ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado fornece a família de curvas implícitas
(y - C)^{2} = C x
e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
4 x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2 x \frac{dy}{dx} - y = 0
e, em seguida, encontrar as curvas integrais que passam por (1,2). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para obter \tfrac{dy}{dx}, substituir na equação diferencial e depois aplicar a condição inicial para determinar C.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
(y - C)^{2} = C x
em relação a x obtemos
2 (y - C)\,\frac{dy}{dx} = C.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{C}{2\,(y - C)}.

Passo 3

Calculemos o quadrado de \tfrac{dy}{dx} e façamos a substituição na equação diferencial:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \frac{C^{2}}{4\,(y - C)^{2}}.
Substituindo em
4 x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2 x \frac{dy}{dx} - y
vem
4 x \cdot \frac{C^{2}}{4\,(y - C)^{2}} \;+\; 2 x \cdot \frac{C}{2\,(y - C)} \;-\; y \;=\; x\,\frac{C^{2}}{(y - C)^{2}} \;+\; x\,\frac{C}{(y - C)} \;-\; y.
Como de (y - C)^{2} = C x segue
\frac{x\,C^{2}}{(y - C)^{2}} = C \quad\text{e}\quad \frac{x\,C}{(y - C)} = y - C,
a expressão acima fica
C + (y - C) - y = 0.
Logo a família satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial (x,y)=(1,2) na relação implícita:
(2 - C)^{2} = C \cdot 1 \;\Longrightarrow\; C^{2} - 5\,C + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; C = 1 \quad\text{ou}\quad C = 4.

Passo 5

As curvas integrais que passam por (1,2) são, para C=1 e C=4:
(y - 1)^{2} = 1\cdot x \quad\text{e}\quad (y - 4)^{2} = 4\cdot x.

Resposta

(y - 1)^{2} = x \quad\text{e}\quad (y - 4)^{2} = 4x.

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