Questão 3. Verifique que a função
dada implicitamente pela relação
é solução da equação diferencial
Achar as equações das curvas integrais que passam pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece a família de curvas implícitas
e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
e, em seguida, encontrar as curvas integrais que passam por
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita para obter
, substituir na equação diferencial e depois aplicar a condição inicial para determinar
.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
obtemos
Logo,
Passo 3
Calculemos o quadrado de
e façamos a substituição na equação diferencial:
Substituindo em
vem
Como de
segue
a expressão acima fica
Logo a família satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
na relação implícita:
Passo 5
As curvas integrais que passam por
são, para
e
: