Use as regras de derivação (soma, produto, quociente e potência) para calcular:
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada de
.
Informações dadas: a função é o produto de duas expressões polinomiais,
e
.
O objetivo final é obter , a derivada de
em função de
.
Informações dadas: a função
O objetivo final é obter
Passo 2
Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
A regra do produto diz que se temos e
, então
A regra do produto diz que se temos
A regra da potência (para potências inteiras) diz que, para
real,
ou seja, você “desce” o expoente multiplicando e reduz o expoente em 1.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é .
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é
Passo 3
Identificamos as duas funções que compõem o produto:
Passo 4
Calculamos
. Aplicando a regra da potência em
e a regra da constante em
:
portanto
Passo 5
Calculamos
. Aplicando a regra da potência em
e a regra da constante em
:
portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que já temos:
Passo 7
Vamos simplificar passo a passo (expandir e somar termos semelhantes). Primeiro multiplicar cada parcela:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Opcionalmente, podemos apresentar em forma fatorada para ver um fator comum:
Passo 8
Dica rápida para a prova: é mais direto aplicar a regra do produto sem expandir primeiro; diferencie cada fator (usando a regra da potência) e aplique
. Se precisar simplificar, expanda como fizemos. Força aí — ficou mais tranquilo agora!