Use as regras de derivação (soma, produto, quociente e potência) para calcular:
g(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2\right)

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada de g(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2\right).
Informações dadas: a função g é o produto de duas expressões polinomiais, x^{2}+1 e x^{3}-2.
O objetivo final é obter g'(x), a derivada de g em função de x.

Passo 2

Vamos recordar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
A regra do produto diz que se temos u(x) e v(x), então
( u\cdot v )' = u'\,v + u\,v'.
A regra da potência (para potências inteiras) diz que, para n real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
ou seja, você “desce” o expoente multiplicando e reduz o expoente em 1.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é 0.

Passo 3

Identificamos as duas funções que compõem o produto:
u(x)=x^{2}+1, \qquad v(x)=x^{3}-2.

Passo 4

Calculamos u'(x). Aplicando a regra da potência em x^{2} e a regra da constante em 1:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \frac{d}{dx}(1)=0,
portanto
u'(x)=2x.

Passo 5

Calculamos v'(x). Aplicando a regra da potência em x^{3} e a regra da constante em -2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}(-2)=0,
portanto
v'(x)=3x^{2}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já temos:
g'(x)=2x\bigl(x^{3}-2\bigr)+(x^{2}+1)\cdot 3x^{2}.

Passo 7

Vamos simplificar passo a passo (expandir e somar termos semelhantes). Primeiro multiplicar cada parcela:
2x\cdot x^{3}=2x^{4},\qquad 2x\cdot(-2)=-4x,
x^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{4},\qquad 1\cdot 3x^{2}=3x^{2}.
Somando tudo:
g'(x)=2x^{4}-4x+3x^{4}+3x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
g'(x)=\bigl(2x^{4}+3x^{4}\bigr)+3x^{2}-4x=5x^{4}+3x^{2}-4x.
Opcionalmente, podemos apresentar em forma fatorada para ver um fator comum:
g'(x)=x\bigl(5x^{3}+3x-4\bigr).

Passo 8

Dica rápida para a prova: é mais direto aplicar a regra do produto sem expandir primeiro; diferencie cada fator (usando a regra da potência) e aplique (uv)'=u'v+uv'. Se precisar simplificar, expanda como fizemos. Força aí — ficou mais tranquilo agora!

Resposta

g'(x)=5x^{4}+3x^{2}-4x

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