Questão 5. Calcule as derivadas:
h(x)=\frac{\ln x}{x}, x>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x>0.
Informações dadas:
\ln x é o logaritmo natural de x.
A função está definida para x>0.
O objetivo é encontrar h'(x), a derivada de h em termos de x.

Passo 2

Escolha do método: uma forma mais simples é reescrever a função como produto e usar a regra do produto. Reescrevo
h(x)=\ln x\cdot x^{-1}.
Isso evita uma conta fracionária direta e usa regras básicas: derivada do logaritmo e regra da potência.

Passo 3

Relembrando a derivada de \ln x: para x>0,
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Explicação rápida: definição e propriedades do logaritmo mostram que sua taxa de variação é 1/x. Aqui \frac{1}{x} significa “um sobre x”.

Passo 4

Relembrando a regra da potência para x^{n}: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-1,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u' v + u v'.
Tomando u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1}, temos u'(x)=\frac{1}{x} e v'(x)=-x^{-2}. Portanto
h'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln x\cdot(-x^{-2}).

Passo 6

Simplifico os termos passo a passo. Primeiro,
\frac{1}{x}\cdot x^{-1}=x^{-2}.
Segundo,
\ln x\cdot(-x^{-2})=-(\ln x)\,x^{-2}.
Somando:
h'(x)=x^{-2}-(\ln x)\,x^{-2}=(1-\ln x)\,x^{-2}.
Por fim passo para forma fracionária mais usual:
h'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}},\quad x>0.

Passo 7

(Verificação alternativa rápida usando a regra do quociente.) Se tomarmos \displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} com f(x)=\ln x e g(x)=x, a regra do quociente diz
h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}.
Aqui f'(x)=\frac{1}{x} e g'(x)=1. Então
h'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

h'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}

Exercícios relacionados