Questão 5. Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
é o logaritmo natural de
.
A função está definida para .
O objetivo é encontrar , a derivada de
em termos de
.
A função está definida para
O objetivo é encontrar
Passo 2
Escolha do método: uma forma mais simples é reescrever a função como produto e usar a regra do produto. Reescrevo
Isso evita uma conta fracionária direta e usa regras básicas: derivada do logaritmo e regra da potência.
Passo 3
Relembrando a derivada de
: para
,
Explicação rápida: definição e propriedades do logaritmo mostram que sua taxa de variação é
. Aqui
significa “um sobre x”.
Passo 4
Relembrando a regra da potência para
: para qualquer real
,
Aplicando com
,
Passo 5
Agora aplico a regra do produto: se
e
são funções, então
Tomando
e
, temos
e
. Portanto
Passo 6
Simplifico os termos passo a passo. Primeiro,
Segundo,
Somando:
Por fim passo para forma fracionária mais usual:
Passo 7
(Verificação alternativa rápida usando a regra do quociente.) Se tomarmos
com
e
, a regra do quociente diz
Aqui
e
. Então
o que confirma o resultado anterior.