Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
(ou seja,
ou
). As informações relevantes são:
- a função é um quadrado de uma função interna
; - é preciso aplicar regras de derivação para obter
.
Passo 2
Vamos revisar as regras que vamos usar (pequena aula rápida, sem pânico!):
- Regra da cadeia (caso mais direto aqui): se
, então
Isto é, deriva-se a potência pela regra do expoente (power rule) e depois multiplica-se pela derivada da função interna
.
- Regra da soma e constantes: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes fatoram para fora:
- Derivadas básicas que precisaremos:
Aqui
é a função seno e
o cosseno.
Passo 3
Identificamos a função interna
:
Agora calculamos
termo a termo.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
:
Somando as derivadas:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia (passo-a-passo):
Substituindo
e
:
Passo 5
Podemos simplificar fatorando fatores comuns para deixar a resposta mais enxuta. Observe que em cada parêntese há um fator
:
Substituindo na expressão de
:
Ambas as formas (a fatorada original ou esta simplificada) estão corretas; a versão simplificada é
Passo 6
Pequeno exemplo extra para fixar: se
, pela mesma ideia
, então
e
Viu como é a mesma receita? Identifica
, calcula
e aplica
.