Questão 1. Derive:
y=\left(2 x^{3}+4 \operatorname{sen} x\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(2x^{3}+4\operatorname{sen} x\right)^{2}
e pede para calcular a derivada de y em relação a x (ou seja, y' ou \dfrac{dy}{dx}). As informações relevantes são:
  • a função é um quadrado de uma função interna 2x^{3}+4\operatorname{sen} x;
  • é preciso aplicar regras de derivação para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos revisar as regras que vamos usar (pequena aula rápida, sem pânico!):
  • Regra da cadeia (caso mais direto aqui): se y=[u(x)]^{2}, então
\dfrac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x).
Isto é, deriva-se a potência pela regra do expoente (power rule) e depois multiplica-se pela derivada da função interna u(x).
  • Regra da soma e constantes: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes fatoram para fora:
\dfrac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot f'(x).
  • Derivadas básicas que precisaremos:
\dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}, \qquad \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x.
Aqui \operatorname{sen} é a função seno e \cos o cosseno.

Passo 3

Identificamos a função interna u(x):
u(x)=2x^{3}+4\operatorname{sen} x.
Agora calculamos u'(x) termo a termo.
Derivada do primeiro termo 2x^{3}:
\dfrac{d}{dx}\big(2x^{3}\big)=2\cdot \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
Derivada do segundo termo 4\operatorname{sen} x:
\dfrac{d}{dx}\big(4\operatorname{sen} x\big)=4\cdot \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=4\cos x.
Somando as derivadas:
u'(x)=6x^{2}+4\cos x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia (passo-a-passo):
\dfrac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x):
\dfrac{dy}{dx}=2\big(2x^{3}+4\operatorname{sen} x\big)\big(6x^{2}+4\cos x\big).

Passo 5

Podemos simplificar fatorando fatores comuns para deixar a resposta mais enxuta. Observe que em cada parêntese há um fator 2:
2x^{3}+4\operatorname{sen} x=2\big(x^{3}+2\operatorname{sen} x\big), \qquad 6x^{2}+4\cos x=2\big(3x^{2}+2\cos x\big).
Substituindo na expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 2\big(x^{3}+2\operatorname{sen} x\big)\cdot 2\big(3x^{2}+2\cos x\big)=8\big(x^{3}+2\operatorname{sen} x\big)\big(3x^{2}+2\cos x\big).
Ambas as formas (a fatorada original ou esta simplificada) estão corretas; a versão simplificada é
\dfrac{dy}{dx}=8\big(x^{3}+2\operatorname{sen} x\big)\big(3x^{2}+2\cos x\big).

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar: se y=(x^{2}+\operatorname{sen} x)^{2}, pela mesma ideia u=x^{2}+\operatorname{sen} x, então u'=2x+\cos x e
y'=2(x^{2}+\operatorname{sen} x)(2x+\cos x).
Viu como é a mesma receita? Identifica u, calcula u' e aplica y'=2u\,u'.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2\big(2x^{3}+4\operatorname{sen} x\big)\big(6x^{2}+4\cos x\big)=8\big(x^{3}+2\operatorname{sen} x\big)\big(3x^{2}+2\cos x\big)

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