Questão 1. Derive:
y=(3 x+4)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=(3x+4)^{3}
e pede para derivá-la em relação a x. Ou seja, queremos encontrar \dfrac{dy}{dx} (também notado por y').

Passo 2

Vou explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
Regra da potência (caso simples): se y=x^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente.
Regra da cadeia (caso composto): se y=[u(x)]^{n}, onde u(x) é uma função de x e n é constante, então
\frac{dy}{dx}=n\,[u(x)]^{\,n-1}\cdot u'(x).
Explicando: primeiro trata-se o todo como uma potência (aplica-se a regra da potência a u), e depois multiplica-se pela derivada da parte interna u'(x) (isso é a cadeia: derivada do externo vezes derivada do interno).

Passo 3

Identificamos na nossa função a parte externa e a parte interna:
  • A parte externa é a potência com expoente n=3.
  • A parte interna é u(x)=3x+4.
Agora calculamos a derivada da parte interna. Como u(x)=3x+4 é uma reta, sua derivada é o coeficiente angular (a inclinação):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x+4)=3.
Aqui explique: derivada de ax+b é a, porque a inclinação da reta ax+b é a.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com u(x)=3x+4 e n=3, obtemos
\frac{dy}{dx}=3\,[\,3x+4\,]^{2}\cdot u'(x).
Substituindo u'(x)=3 vem
\frac{dy}{dx}=3\,[\,3x+4\,]^{2}\cdot 3.
Isto é a forma direta pelo uso das regras explicadas: primeiro baixa o expoente 3, deixa o expoente reduzido em 2, e multiplica pela derivada do interior.

Passo 5

(Verificação alternativa, útil para checar se o resultado está correto.)
Expandindo (3x+4)^{3} pelo binômio de Newton:
(3x+4)^{3}=(3x)^{3}+3(3x)^{2}\cdot 4+3(3x)\cdot 4^{2}+4^{3}=27x^{3}+108x^{2}+144x+64.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(27x^{3}+108x^{2}+144x+64\bigr)=81x^{2}+216x+144.
Esse polinômio é equivalente ao resultado obtido pela regra da cadeia (após simplificar os fatores constantes), então serve como conferência do cálculo.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=9(3x+4)^{2}

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