Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la em relação a
. Ou seja, queremos encontrar
(também notado por
).
Passo 2
Vou explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
Regra da potência (caso simples): se
com
constante, então
Aqui
é a variável e
é o expoente.
Regra da cadeia (caso composto): se
, onde
é uma função de
e
é constante, então
Explicando: primeiro trata-se o todo como uma potência (aplica-se a regra da potência a
), e depois multiplica-se pela derivada da parte interna
(isso é a cadeia: derivada do externo vezes derivada do interno).
Passo 3
Identificamos na nossa função a parte externa e a parte interna:
- A parte externa é a potência com expoente
. - A parte interna é
.
Agora calculamos a derivada da parte interna. Como
é uma reta, sua derivada é o coeficiente angular (a inclinação):
Aqui explique: derivada de
é
, porque a inclinação da reta
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
e
, obtemos
Substituindo
vem
Isto é a forma direta pelo uso das regras explicadas: primeiro baixa o expoente
, deixa o expoente reduzido em
, e multiplica pela derivada do interior.
Passo 5
(Verificação alternativa, útil para checar se o resultado está correto.)
Expandindo pelo binômio de Newton:
Expandindo
Derivando termo a termo:
Esse polinômio é equivalente ao resultado obtido pela regra da cadeia (após simplificar os fatores constantes), então serve como conferência do cálculo.