Questão 1. Derive:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Ou seja, encontrar
. As informações dadas são apenas essa expressão em função de
.
Passo 2
Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação:
Aqui é útil ver
como uma composição de duas funções:
- uma externa
, - e uma interna
.
A regra que vamos usar é a regra da cadeia: se
e
, então
Também precisamos da regra da potência: se
então
. Aplicando com
obtemos
Passo 3
Agora calculamos
para
. Usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Logo
e
. Portanto
Calculando o numerador:
Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
,
Essa expressão já é correta; a seguir vamos simplificar para uma forma mais compacta e com potências positivas.
Passo 5
Simplificamos passo a passo. Primeiro trocamos o expoente negativo por recíproco:
Então
Escrevendo separadamente as potências de
e
:
Como
, fica
Portanto a forma totalmente simplificada é
Observação rápida: a função e sua derivada não estão definidas em
(divisão por zero). Em
a derivada tende ao infinito pois aparece
no denominador.