Questão 1. Derive:
y=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}.
Ou seja, encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}. As informações dadas são apenas essa expressão em função de x.

Passo 2

Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação:
y=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/3}.
Aqui é útil ver y como uma composição de duas funções:
  • uma externa f(u)=u^{1/3},
  • e uma interna u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}.
A regra que vamos usar é a regra da cadeia: se y=f(u) e u=u(x), então
\frac{dy}{dx}=f'(u)\,u'(x).
Também precisamos da regra da potência: se f(u)=u^{n} então f'(u)=n\,u^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{3} obtemos
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x) para u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}. Usamos a regra do quociente: se u=\dfrac{p}{q} então
u'=\frac{p' q - p q'}{q^{2}}.
Aqui p(x)=x-1 e q(x)=x+1. Logo p'=1 e q'=1. Portanto
u'(x)=\frac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1)^{2}}.
Calculando o numerador:
(x+1)-(x-1)=x+1-x+1=2.
Portanto
u'(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'(u)\,u'(x)=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot\frac{2}{(x+1)^{2}}.
Substituindo u=\dfrac{x-1}{x+1},
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3}\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Essa expressão já é correta; a seguir vamos simplificar para uma forma mais compacta e com potências positivas.

Passo 5

Simplificamos passo a passo. Primeiro trocamos o expoente negativo por recíproco:
\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3}=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}.
Então
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Escrevendo separadamente as potências de x+1 e x-1:
\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\frac{1}{(x+1)^{2}} =\frac{(x+1)^{2/3}}{(x-1)^{2/3}}\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}} =\frac{1}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{2/3-2}.
Como 2/3-2=2/3-6/3=-4/3, fica
\frac{(x+1)^{2/3}}{(x+1)^{2}}=(x+1)^{-4/3}=\frac{1}{(x+1)^{4/3}}.
Portanto a forma totalmente simplificada é
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}.
Observação rápida: a função e sua derivada não estão definidas em x=-1 (divisão por zero). Em x=1 a derivada tende ao infinito pois aparece (x-1)^{2/3} no denominador.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\,\frac{1}{(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}

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