Questão 2.(2.0) Dertermine as curvas de nível da função z=f(x, y) nos casos. Represente no plano cartesiano.
f(x, y)=ln (x^2-y).

Passo 1

A questão pede para a gente determinar as curvas de nível da função z=f(x,y)=ln(x^2-y) e desenhá-las no plano. O tema é curvas de nível, e vamos precisar usar a definição de curva de nível e propriedades do logaritmo natural.

Passo 2

Uma curva de nível de uma função f(x,y) é o conjunto dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=k, onde k é uma constante real. No nosso caso, vamos impor
ln(x^2 - y) = k

Passo 3

Para achar cada curva, a gente resolve essa equação para obter a relação entre x e y. Primeiro, aplicando exponencial para eliminar o logaritmo:
x^2 - y = e^k

Passo 4

Agora isolamos y para ver explicitamente a forma da curva:
y = x^2 - e^k

Passo 5

Como e^k é sempre positivo, cada valor de k gera uma parábola do tipo y = x^2 - C com C = e^k > 0. Observação: como a função só faz sentido quando x^2 - y > 0, temos o domínio y < x^2.
Por exemplo, para k=-1 a parábola é y=x^2-e^-1, para k=0 temos y=x^2-1 e para k=1 y=x^2-e. No esboço, desenhamos essas parábolas deslocadas para baixo conforme k cresce.

Resposta

As curvas de nível de f são as parábolas y = x^2 - e^k para cada kinR, todas dentro da região y < x^2.

Exercícios relacionados