Questão 2.(2.0) Dertermine as curvas de nível da função
nos casos. Represente no plano cartesiano.
.
Passo 1
A questão pede para a gente determinar as curvas de nível da função
e desenhá-las no plano. O tema é curvas de nível, e vamos precisar usar a definição de curva de nível e propriedades do logaritmo natural.
Passo 2
Uma curva de nível de uma função
é o conjunto dos pontos
tais que
, onde
é uma constante real. No nosso caso, vamos impor
Passo 3
Para achar cada curva, a gente resolve essa equação para obter a relação entre
e
. Primeiro, aplicando exponencial para eliminar o logaritmo:
Passo 4
Agora isolamos
para ver explicitamente a forma da curva:
Passo 5
Como
é sempre positivo, cada valor de
gera uma parábola do tipo
com
. Observação: como a função só faz sentido quando
, temos o domínio
.
Por exemplo, para a parábola é
, para
temos
e para
dá
. No esboço, desenhamos essas parábolas deslocadas para baixo conforme
cresce.
Por exemplo, para
Resposta
As curvas de nível de
são as parábolas
para cada
, todas dentro da região
.