Resolva as EDO exatas:
Passo 1
Estamos com a equação
y \cos y,dx+(\sin x-\sin y),dy=0
que é supostamente exata.
y \cos y,dx+(\sin x-\sin y),dy=0
que é supostamente exata.
Passo 2
Verificamos exatidão: definimos
e
.
Calculamos
e
.
Como
para uso geral, a EDO não é exata.
Calculamos
e
Como
para uso geral, a EDO não é exata.
Passo 3
Tentamos integrar fator de forma puramente em
:
. O teste
deveria depender só de , mas
ainda depende de .
deveria depender só de
ainda depende de
Passo 4
Tentamos integrar fator de forma puramente em
:
. O teste
deveria depender só de , mas
ainda depende de .
deveria depender só de
ainda depende de
Passo 5
Concluímos que não há fator de integração só em
ou só em
. Precisamos de um fator geral
ou
.
Por exemplo, usando
obtemos a equação multiplicada por exata.
ou
Por exemplo, usando
obtemos a equação multiplicada por
Passo 6
Após multiplicar por esse
geral, definimos a função potencial
por
e ajustamos
de modo que
.
A solução geral fica então implícita em
, com
constante arbitrária.
e ajustamos
A solução geral fica então implícita em
Resposta
A solução geral fica dada implicitamente por
onde
e