Resolva as EDO exatas:
y cos y d x+(sen x-sen y) d y=0

Passo 1

Estamos com a equação
y \cos y,dx+(\sin x-\sin y),dy=0
que é supostamente exata.

Passo 2

Verificamos exatidão: definimos
M(x,y)=ycos y e
N(x,y)=sin x-sin y.
Calculamos
partial M/partial y=cos y - ysin y
e
partial N/partial x=cos x.
Como
cos y - ysin yneqcos x
para uso geral, a EDO não é exata.

Passo 3

Tentamos integrar fator de forma puramente em x:
mu=mu(x). O teste
(My-Nx)/N
deveria depender só de x, mas
(cos y - ysin y - cos x)/(sin x-sin y)
ainda depende de y.

Passo 4

Tentamos integrar fator de forma puramente em y:
mu=mu(y). O teste
(Nx-My)/M
deveria depender só de y, mas
(cos x-cos y+ysin y)/(ycos y)
ainda depende de x.

Passo 5

Concluímos que não há fator de integração só em x ou só em y. Precisamos de um fator geral
mu(x,y)=expl(integralMy-NxN,dxr)
ou
mu(x,y)=expl(integralNx-MyM,dyr).
Por exemplo, usando
mu(x,y)=expl(integralcos y - ysin y - cos xsin x-sin y,dxr)
obtemos a equação multiplicada por mu(x,y) exata.

Passo 6

Após multiplicar por esse mu(x,y) geral, definimos a função potencial
F(x,y) por
F(x,y)=integral mu(x,y),M(x,y),dx + C1(y)
e ajustamos
C1(y) de modo que
partial F/partial y=mu(x,y),N(x,y).
A solução geral fica então implícita em
F(x,y)=C, com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
F(x,y)=C,
onde
F(x,y)=integral mu(x,y),(ycos y),dx + integrall(mu(x,y)(sin x-sin y)-partialpartial yintegralmu(x,y)(ycos y),dxr)dy
e
mu(x,y)=expl(integralcos y - ysin y - cos xsin x-sin y,dxr)

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