Questão desafio!

Estime a incerteza mínima em a) a posição de uma bola de gude de massa de 1,0 \mathrm{~g}, sabendo que sua velocidade é conhecida no intervalo +-1,0 \mathrm{~mm} . \mathrm{s}-1 e b) a velocidade de um elétron confinado em um diâmetro de um átomo típico 200 pm . Dados: 1 \mathrm{~kg}=1000 \mathrm{~g}, 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} . \mathrm{m} 2 . \mathrm{s}-2, massa do elétron =9,109.10-31 \mathrm{~kg}, \mathrm{~h}=6,626.10-34 \mathrm{~J} . \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede duas estimativas de incerteza mínima usando o princípio da incerteza de Heisenberg:
  • (a) Estimar a incerteza mínima na posição de uma bola de gude cuja massa é 1,0\\ \mathrm{g} e cuja velocidade é conhecida no intervalo \pm 1,0\\ \mathrm{mm\cdot s^{-1}}. Ou seja, a incerteza de velocidade é \Delta v = 1,0\\ \mathrm{mm\cdot s^{-1}}.
  • (b) Estimar a incerteza mínima na velocidade de um elétron confinado em um diâmetro típico de átomo 200\\ \mathrm{pm} (picômetros).
Informações e constantes dadas (relevantes, todas convertidas ao SI quando necessário):
  • 1,0\\ \mathrm{g} = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • \Delta v_{\text{bola}} = 1,0\\ \mathrm{mm\cdot s^{-1}} = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Diâmetro do átomo: 200\\ \mathrm{pm} = 200\times10^{-12}\\ \mathrm{m} = 2,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Vamos usar esse comprimento como ordem de grandeza para \Delta x_{\text{elétron}}é.
  • Massa do elétron: m_e = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Constante de Planck: h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Lembraremos também de \hbar = \dfrac{h}{2\pi}.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar: o princípio da incerteza de Heisenberg.
  • A forma usual do princípio é
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta x é a incerteza na posição;
  • \Delta p é a incerteza no momento linear ( p);
  • \hbar = \dfrac{h}{2\pi} é a constante de Planck reduzida.
  • Para partículas não relativísticas o momento linear é p = m v. Se a incerteza de velocidade for \Delta v e a massa for conhecida com boa precisão, a incerteza de momento satisfaz aproximadamente
\Delta p \approx m\,\Delta v.
  • Substituindo na desigualdade obtemos duas fórmulas úteis:
    • quando se quer a incerteza mínima na posição a partir da incerteza de velocidade:
    \Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta v},
    • quando se quer a incerteza mínima na velocidade a partir da incerteza na posição:
    \Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}.
Explicação do porquê: a desigualdade relaciona quão bem se pode conhecer simultaneamente posição e momento. Em provas costuma-se usar a forma com \hbar/2 para estimativas de ordem de grandeza e “incerteza mínima”.

Passo 3

Cálculo dos valores numéricos que vamos usar.
  • Primeiro calcular \hbar:
\hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6,626\times10^{-34}}{2\pi}\approx 1,055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
(Arredondei para três algarismos significativos para manter clareza nos cálculos.)

Passo 4

Parte (a) — incerteza mínima na posição da bola de gude.
Dados para (a):
  • m_{\text{bola}} = 1,0\\ \mathrm{g} = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • \Delta v = 1,0\\ \mathrm{mm\cdot s^{-1}} = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Usando a fórmula
\Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta v},
fazemos as contas passo a passo:
  • Compute o denominador 2\,m\,\Delta v:
2\,m\,\Delta v = 2\cdot(1,0\times10^{-3})\cdot(1,0\times10^{-3}) = 2,0\times10^{-6}.
  • Agora \Delta x:
\Delta x \gtrsim \frac{1,055\times10^{-34}}{2,0\times10^{-6}} = 5,275\times10^{-29}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável:
\Delta x \gtrsim 5,3\times10^{-29}\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida (didática): esse valor é absurdamente pequeno — muito menor que qualquer dimensão atômica ou nuclear — o que indica que para objetos macroscópicos com massas grandes e velocidades pequenas as limitações quânticas na posição são totalmente desprezíveis na prática.

Passo 5

Parte (b) — incerteza mínima na velocidade do elétron confinado em 200\\ \mathrm{pm}.
Dados para (b):
  • m_e = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Confinamento espacial (diâmetro do átomo): 200\\ \mathrm{pm} = 2,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Vamos usar \Delta x \approx 2,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Usando a fórmula
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m_e\,\Delta x},
calculamos passo a passo:
  • Denominador 2\,m_e\,\Delta x:
2\,m_e\,\Delta x = 2\cdot(9,109\times10^{-31})\cdot(2,00\times10^{-10}) = 3,6436\times10^{-40}\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Agora \Delta v:
\Delta v \gtrsim \frac{1,055\times10^{-34}}{3,6436\times10^{-40}} \approx 2,90\times10^{5}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Arredondando:
\Delta v \gtrsim 2,9\times10^{5}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Interpretação rápida (didática): essa velocidade de ordem 10^{5}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} é grande comparada a velocidades do dia a dia, mas é compatível com ordens de grandeza das velocidades eletrônicas em átomos (algumas dezenas a milhões de km/s dependendo do átomo e estado). Mostra que confinamento pequeno implica grande incerteza (ou escala) de velocidade.

Resposta

(a) \Delta x \gtrsim 5,3\times10^{-29}\\ \mathrm{m}
(b) \Delta v \gtrsim 2,9\times10^{5}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

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