Questão desafio!
Estime a incerteza mínima em a) a posição de uma bola de gude de massa de
, sabendo que sua velocidade é conhecida no intervalo
e b) a velocidade de um elétron confinado em um diâmetro de um átomo típico 200 pm . Dados:
,
, massa do elétron
.
Passo 1
O enunciado pede duas estimativas de incerteza mínima usando o princípio da incerteza de Heisenberg:
- (a) Estimar a incerteza mínima na posição de uma bola de gude cuja massa é
e cuja velocidade é conhecida no intervalo . Ou seja, a incerteza de velocidade é . - (b) Estimar a incerteza mínima na velocidade de um elétron confinado em um diâmetro típico de átomo
(picômetros).
Informações e constantes dadas (relevantes, todas convertidas ao SI quando necessário):
-
. -
. - Diâmetro do átomo:
. Vamos usar esse comprimento como ordem de grandeza para . - Massa do elétron:
. - Constante de Planck:
. - Lembraremos também de
.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar: o princípio da incerteza de Heisenberg.
- A forma usual do princípio é
onde:
-
é a incerteza na posição; -
é a incerteza no momento linear ( ); -
é a constante de Planck reduzida. - Para partículas não relativísticas o momento linear é
. Se a incerteza de velocidade for e a massa for conhecida com boa precisão, a incerteza de momento satisfaz aproximadamente
- Substituindo na desigualdade obtemos duas fórmulas úteis:
- quando se quer a incerteza mínima na posição a partir da incerteza de velocidade:
- quando se quer a incerteza mínima na velocidade a partir da incerteza na posição:
Explicação do porquê: a desigualdade relaciona quão bem se pode conhecer simultaneamente posição e momento. Em provas costuma-se usar a forma com
para estimativas de ordem de grandeza e “incerteza mínima”.
Passo 3
Cálculo dos valores numéricos que vamos usar.
- Primeiro calcular
:
(Arredondei para três algarismos significativos para manter clareza nos cálculos.)
Passo 4
Parte (a) — incerteza mínima na posição da bola de gude.
Dados para (a):
-
. -
.
Usando a fórmula
fazemos as contas passo a passo:
- Compute o denominador
:
- Agora
:
Arredondando de forma razoável:
Interpretação rápida (didática): esse valor é absurdamente pequeno — muito menor que qualquer dimensão atômica ou nuclear — o que indica que para objetos macroscópicos com massas grandes e velocidades pequenas as limitações quânticas na posição são totalmente desprezíveis na prática.
Passo 5
Parte (b) — incerteza mínima na velocidade do elétron confinado em
.
Dados para (b):
-
. - Confinamento espacial (diâmetro do átomo):
. Vamos usar .
Usando a fórmula
calculamos passo a passo:
- Denominador
:
- Agora
:
Arredondando:
Interpretação rápida (didática): essa velocidade de ordem
é grande comparada a velocidades do dia a dia, mas é compatível com ordens de grandeza das velocidades eletrônicas em átomos (algumas dezenas a milhões de km/s dependendo do átomo e estado). Mostra que confinamento pequeno implica grande incerteza (ou escala) de velocidade.
Resposta
(a)
(b)