A velocidade de um elétron emitido pela superfície de uma chapa de zinco por um fóton é 78,5 \mathrm{~km} . \mathrm{s}^{-1}. Sabendo que a frequência de corte do mesmo é 3,63 \mathrm{eV}.
Dados: \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,1093837 \times 10^{-28} g e 1 \mathrm{eV}=1,60218 \times 10^{-19} \mathrm{~J}.
a) Qual a energia cinética do elétron ejetado?
b) Qual o comprimento de onda da radiação que provocou a fotoejeção do elétron?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Velocidade do elétron ejetado: v = 78,5\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.
  • Energia de corte (função trabalho) da chapa de zinco: \varphi = 3,63\\ \mathrm{eV}.
  • Massa do elétron: m_e = 9,1093837\times10^{-28}\\ \mathrm{g}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{eV} = 1,60218\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O enunciado pede:
(a) Qual é a energia cinética do elétron ejetado?
(b) Qual é o comprimento de onda da radiação incidente que provocou a fotoejeção?
Observações de conversão que já vou usar:
  • Converter m_e para quilogramas: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • Converter v para \mathrm{m\,s^{-1}}: 1\\ \mathrm{km\,s^{-1}}=10^{3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 2

Calcular a energia cinética clássica do elétron usando a fórmula
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Primeiro converto as unidades:
m_e = 9,1093837\times10^{-28}\\ \mathrm{g}=9,1093837\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
v = 78,5\\ \mathrm{km\,s^{-1}}=78,5\times10^{3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}=7,85\times10^{4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Calculo v^{2}:
v^{2}=(7,85\times10^{4})^{2}=6,16225\times10^{9}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
Agora aplico a fórmula:
K=\tfrac{1}{2}\cdot(9,1093837\times10^{-31})\cdot(6,16225\times10^{9})\\ \mathrm{J}.
Faço a multiplicação (mostrando a ordem de grandeza):
K \approx 0,5\times9,1093837\times6,16225\times10^{-31+9}\\ \mathrm{J} =2,80745\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Converter a energia cinética de joule para elétron-volt usando 1\\ \mathrm{eV}=1,60218\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K_{\mathrm{(eV)}}=\frac{K}{1,60218\times10^{-19}}=\frac{2,80745\times10^{-21}}{1,60218\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}.
Calculando:
K_{\mathrm{(eV)}}\approx0,01752\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Usar a equação do efeito fotoelétrico para relacionar energia do fóton, função trabalho e energia cinética máxima:
E_{\gamma}=\varphi+K_{\mathrm{(eV)}},
onde \varphi e K_{\mathrm{(eV)}} estão em elétron-volts. Substituo os valores:
E_{\gamma}=3,63\\ \mathrm{eV}+0,01752\\ \mathrm{eV}=3,64752\\ \mathrm{eV}.
Converto E_{\gamma} para joules:
E_{\gamma}=3,64752\times(1,60218\times10^{-19})\\ \mathrm{J}\approx5,844\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda do fóton usando a relação
E_{\gamma}=\frac{hc}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{hc}{E_{\gamma}}.
Vou usar os valores:
h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\qquad c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Calculo hc:
hc=(6,62607015\times10^{-34})\cdot(2,99792458\times10^{8})=1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Agora a divisão:
\lambda=\frac{1,98644586\times10^{-25}}{5,844\times10^{-19}}\\ \mathrm{m} \approx3,399\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converto para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx339,9\\ \mathrm{nm}\approx340\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido: a energia cinética calculada é muito pequena em comparação com a função trabalho ( \varphi), por isso a maior parte da energia do fóton foi gasta para arrancar o elétron; o comprimento de onda obtido ( \approx340\\ \mathrm{nm}) está na região ultravioleta próxima, o que faz sentido para uma função trabalho de \sim3{,}6\\ \mathrm{eV}. Força final: você já está mandando bem! Se quiser eu refaço com mais casas significativas ou com arredondamento diferente.

Resposta

(a) K\approx2,807\times10^{-21}\\ \mathrm{J}\approx0,01752\\ \mathrm{eV}
(b) \lambda\approx3,399\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx339,9\\ \mathrm{nm}

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