Questão 1. (1.0) Descreva em cada caso, as condições necessárias para que:
Duas retas sejam reversas e perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre retas em \mathbb{R}^3: quando são reversas (isto é, não paralelas e sem ponto de interseção) e quando são perpendiculares (isto é, se cruzam formando ângulo de 90^\circ). Para isso vamos representar as retas em forma paramétrica:
r_1:\mathbf{x}=\mathbf{P}+t\,\mathbf{u},\quad r_2:\mathbf{x}=\mathbf{Q}+s\,\mathbf{v},
onde \mathbf{P},\mathbf{Q} são pontos iniciais e \mathbf{u},\mathbf{v} são vetores diretores. Usaremos as operações de produto vetorial ( \times) e produto escalar ( \cdot) para descrever as condições.

Passo 2

Para que r_1 e r_2 sejam reversas, precisamos simultaneamente:
  • Não serem paralelas:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0}.
  • Não terem interseção: o sistema \mathbf{P}+t\,\mathbf{u}=\mathbf{Q}+s\,\mathbf{v} não admite solução. Em termos vetoriais, isso equivale a dizer que o vetor \mathbf{Q}-\mathbf{P} não está no mesmo plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}, ou seja,
(\mathbf{Q}-\mathbf{P})\cdot\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)\neq 0.

Passo 3

Para que r_1 e r_2 sejam perpendiculares, devem ocorrer simultaneamente:
  • Existir ponto de interseção: há (t,s) tais que
\mathbf{P}+t\,\mathbf{u}=\mathbf{Q}+s\,\mathbf{v}.
  • Vetores diretores ortogonais:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.

Resposta

  • Condições para retas reversas:
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0}
    e
    (\mathbf{Q}-\mathbf{P})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\neq 0.
  • Condições para retas perpendiculares:
    existe solução \mathbf{P}+t\,\mathbf{u}=\mathbf{Q}+s\,\mathbf{v}
    e
    \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.

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