Questão 1. (1.0) Descreva em cada caso, as condições necessárias para que:
Duas retas sejam reversas e perpendiculares.
Duas retas sejam reversas e perpendiculares.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre retas em
: quando são reversas (isto é, não paralelas e sem ponto de interseção) e quando são perpendiculares (isto é, se cruzam formando ângulo de
). Para isso vamos representar as retas em forma paramétrica:
onde
são pontos iniciais e
são vetores diretores. Usaremos as operações de produto vetorial (
) e produto escalar (
) para descrever as condições.
Passo 2
Para que
e
sejam reversas, precisamos simultaneamente:
- Não serem paralelas:
- Não terem interseção: o sistema
não admite solução. Em termos vetoriais, isso equivale a dizer que o vetor não está no mesmo plano gerado por e , ou seja,
Passo 3
Para que
e
sejam perpendiculares, devem ocorrer simultaneamente:
- Existir ponto de interseção: há
tais que
- Vetores diretores ortogonais:
Resposta
-
Condições para retas reversas:
e
. -
Condições para retas perpendiculares:
existe solução
e
.