Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície em
definida pela equação
Trata-se de uma superfície quadricática; vamos completar quadrados para colocá-la em forma canônica.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
e em
:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original e reunindo constantes, obtemos
e portanto
Passo 4
A forma canônica
revela um paraboloide elíptico com vértice no ponto
. A abertura é no sentido positivo de
, pois o valor mínimo de
é
no vértice.
Passo 5
Para cada
, as seções horizontais são elipses centradas em
com equação
isto é, semieixos
ao longo de
e
ao longo de
. O esboço assemelha-se a uma tigela elíptica (“bowl”) deslocada para
no plano
e abrindo para cima ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
com abertura para valores crescentes de
. As seções horizontais
são elipses de semieixos
e
centradas em
, e o esboço corresponde a uma tigela elíptica voltada para cima.