Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
y=x^{2}-2 x+9 z^{2}-36 z+37.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície em \mathbb{R}^{3} definida pela equação
y = x^2 - 2x + 9z^2 - 36z + 37.
Trata-se de uma superfície quadricática; vamos completar quadrados para colocá-la em forma canônica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x e em z:
x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1,
9z^2 - 36z = 9\bigl[(z-2)^2 - 4\bigr] = 9(z-2)^2 - 36.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original e reunindo constantes, obtemos
y = (x-1)^2 - 1 + 9(z-2)^2 - 36 + 37
e portanto
y = (x-1)^2 + 9(z-2)^2.

Passo 4

A forma canônica
y = (x-1)^2 + 9(z-2)^2
revela um paraboloide elíptico com vértice no ponto (x,y,z) = (1,0,2). A abertura é no sentido positivo de y, pois o valor mínimo de y é 0 no vértice.

Passo 5

Para cada y = k > 0, as seções horizontais são elipses centradas em (x,z) = (1,2) com equação
(x-1)^2 + 9(z-2)^2 = k,
isto é, semieixos \sqrt{k} ao longo de x e \tfrac{\sqrt{k}}{3} ao longo de z. O esboço assemelha-se a uma tigela elíptica (“bowl”) deslocada para (1,2) no plano xz e abrindo para cima ao longo do eixo y.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (1,0,2) com abertura para valores crescentes de y. As seções horizontais y=k são elipses de semieixos \sqrt{k} e \sqrt{k}/3 centradas em (1,2), e o esboço corresponde a uma tigela elíptica voltada para cima.

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