Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar em
a superfície dada por
Isso é um caso de superfície quádrupla homogênea de segundo grau (uma quádrupla cônica) e vamos usar análise de seções transversais e forma canônica de cones.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão, levamos tudo para um lado:
Como não há termo constante nem termos lineares, é uma superfície cônica com vértice na origem.
Passo 3
Para entender a geometria, examinamos seções em planos paralelos aos planos coordenados:
- Plano
:
que é uma elipse centrada na reta
.
2. Plano :
2. Plano
que, para
, é uma hipérbole em cada plano
.
3. Plano :
3. Plano
também hipérbole em cada plano
.
Passo 4
Da análise das seções vemos que para cada
há elipses de eixo maior paralelo ao eixo
e menor paralelo ao eixo
; e para cada
ou cada
fixos (não nulos) aparecem hipérboles. Isso caracteriza um cone duplo elíptico cujo vértice fica na origem e cujo eixo principal é o eixo
. No esboço, visualizamos dois “napes” de cone abertos para
e
, com seção elíptica variável conforme
.
Resposta
A superfície é um cone duplo elíptico com vértice na origem e eixo principal ao longo do eixo
. Em seções
obtém-se elipses de equação
; para
reduz-se ao ponto
. O esboço mostra dois cones abertos simetricamente para
e
, com secções elípticas.