Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
x^{2}=2 y^{2}+3 z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar em \mathbb{R}^3 a superfície dada por
x^{2} = 2\,y^{2} + 3\,z^{2}.
Isso é um caso de superfície quádrupla homogênea de segundo grau (uma quádrupla cônica) e vamos usar análise de seções transversais e forma canônica de cones.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, levamos tudo para um lado:
x^{2} - 2\,y^{2} - 3\,z^{2} = 0.
Como não há termo constante nem termos lineares, é uma superfície cônica com vértice na origem.

Passo 3

Para entender a geometria, examinamos seções em planos paralelos aos planos coordenados:
  1. Plano x = c\neq 0:
2\,y^{2} + 3\,z^{2} = c^{2},
que é uma elipse centrada na reta x=c.
2. Plano y = k:
x^{2} - 3\,z^{2} = 2\,k^{2},
que, para k\neq0, é uma hipérbole em cada plano y=k.
3. Plano z = m:
x^{2} - 2\,y^{2} = 3\,m^{2},
também hipérbole em cada plano z=m.

Passo 4

Da análise das seções vemos que para cada x\neq0 há elipses de eixo maior paralelo ao eixo y e menor paralelo ao eixo z; e para cada y ou cada z fixos (não nulos) aparecem hipérboles. Isso caracteriza um cone duplo elíptico cujo vértice fica na origem e cujo eixo principal é o eixo x. No esboço, visualizamos dois “napes” de cone abertos para x>0 e x<0, com seção elíptica variável conforme \lvert x\rvert.

Resposta

A superfície é um cone duplo elíptico com vértice na origem e eixo principal ao longo do eixo x. Em seções x=c obtém-se elipses de equação 2y^{2}+3z^{2}=c^{2}; para x=0 reduz-se ao ponto (0,0,0). O esboço mostra dois cones abertos simetricamente para x>0 e x<0, com secções elípticas.

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