Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
y^{2}=x^{2}-2 x+9 z^{2}-36 z+37.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
y^{2} \;=\; x^{2} \;-\; 2x \;+\; 9z^{2} \;-\; 36z \;+\; 37.
O conteúdo aqui é estudo de superfícies quádricas: vamos completar quadrados em x e z para reconhecer a forma padrão e, a partir daí, identificar que tipo de superfície é.

Passo 2

Complete o quadrado em x e em z na parte direita. Para x:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Para z:
9z^{2}-36z = 9\bigl(z^{2}-4z\bigr) = 9\bigl((z-2)^{2}-4\bigr) = 9(z-2)^{2} -36.

Passo 3

Substituindo essas expressões em \;x^{2}-2x+9z^{2}-36z+37,
temos
(x-1)^{2}-1 \;+\; 9(z-2)^{2}-36 \;+\; 37 = (x-1)^{2} + 9(z-2)^{2} \;+\;( -1 -36 +37) = (x-1)^{2} + 9(z-2)^{2}.
Logo a equação original se transforma em
y^{2} \;=\; (x-1)^{2} \;+\; 9(z-2)^{2}.

Passo 4

Reescrevendo em forma central, defina
x' = x-1, \quad y' = y, \quad z' = z-2.
A equação fica
y'^{2} \;=\; x'^{2} + 9\,z'^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x'^{2} + 9\,z'^{2} \;-\; y'^{2} = 0.
Isto é a equação de um cone quádruplo (duas napas) de vértice em (x',y',z')=(0,0,0), ou seja, vértice em (x,y,z)=(1,0,2) no espaço original.

Passo 5

Para entender a forma geométrica:
– Se y'=c (reta paralela ao plano x'z'), a seção transversal é
x'^{2} + 9z'^{2} = c^{2},
que é uma elipse de semieixos \lvert c\rvert em x' e \lvert c\rvert/3 em z'. Essas elipses crescem conforme \lvert y'\rvert aumenta.
– Para cada y'>0 temos a “napa” positiva y'=+\sqrt{x'^{2}+9z'^{2}}; para y'<0, a napa negativa y'=-\sqrt{x'^{2}+9z'^{2}}.

Resposta

A superfície é um cone quádruplo (duas napas) de vértice em (1,0,2), com eixo ao longo da direção y, e seção em y=\text{const} dada por elipses de semieixos \lvert y\rvert e \lvert y\rvert/3. O esboço mostra duas napas simétricas em torno do plano y=0, abrindo-se conforme \lvert y\rvert cresce.

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