Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em
dada por
O conteúdo aqui é estudo de superfícies quádricas: vamos completar quadrados em
e
para reconhecer a forma padrão e, a partir daí, identificar que tipo de superfície é.
Passo 2
Complete o quadrado em
e em
na parte direita. Para
:
Para
:
Passo 3
Substituindo essas expressões em
,
temos
temos
Logo a equação original se transforma em
Passo 4
Reescrevendo em forma central, defina
A equação fica
Isto é a equação de um cone quádruplo (duas napas) de vértice em
, ou seja, vértice em
no espaço original.
Passo 5
Para entender a forma geométrica:
– Se (reta paralela ao plano
), a seção transversal é
– Se
que é uma elipse de semieixos
em
e
em
. Essas elipses crescem conforme
aumenta.
– Para cada temos a “napa” positiva
; para
, a napa negativa
.
– Para cada
Resposta
A superfície é um cone quádruplo (duas napas) de vértice em
, com eixo ao longo da direção
, e seção em
dada por elipses de semieixos
e
. O esboço mostra duas napas simétricas em torno do plano
, abrindo-se conforme
cresce.