Questão 9. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) dado por uma fonte q_{f} e um sumidouro q_{s} alinhados horizontalmente submetidos a uma corrente uniforme também horizontal U_{\infty} considerando os seguintes casos:
O sumidouro está a montante da fonte, q_{s}(-a, 0), q_{f}(\mathrm{a}, 0). E ambos tem a mesma intensidade (em módulo), q_{f}=-q_{s}=q. Utilize o script em octave para gerar as linhas de corrente.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional potencial resultante da sobreposição de três elementos:
  1. uma corrente uniforme de velocidade \,U_{\infty}\, na direção positiva de x,
  2. um sumidouro de intensidade -q em z=-a,
  3. uma fonte de intensidade +q em z=+a.
    O objetivo é obter o potencial complexo W(z), a velocidade complexa w(z)=\dfrac{dW}{dz} e determinar os pontos de estagnação no plano z=x+iy.

Passo 2

Pela propriedade de superposição de fluxos potenciais, o potencial complexo é a soma do potencial uniforme e dos potenciais da fonte e do sumidouro. Assim,
W(z) =U_{\infty}\,z +\frac{q}{2\pi}\,\ln\bigl(z - a\bigr) -\frac{q}{2\pi}\,\ln\bigl(z + a\bigr).
Separando em parte real \varphi(x,y) e imaginária \psi(x,y), temos
\varphi(x,y) =U_{\infty}\,x +\frac{q}{2\pi}\,\ln\bigl|z - a\bigr| -\frac{q}{2\pi}\,\ln\bigl|z + a\bigr|,
\psi(x,y) =U_{\infty}\,y +\frac{q}{2\pi}\,\arg\bigl(z - a\bigr) -\frac{q}{2\pi}\,\arg\bigl(z + a\bigr).

Passo 3

A velocidade complexa w(z) é a derivada de W(z):
w(z) =\frac{dW}{dz} =U_{\infty} +\frac{q}{2\pi}\,\frac{1}{z - a} -\frac{q}{2\pi}\,\frac{1}{z + a} =U_{\infty} +\frac{q}{2\pi}\,\Bigl(\frac{1}{z - a}-\frac{1}{z + a}\Bigr).
Note que
\frac{1}{z - a}-\frac{1}{z + a} =\frac{2a}{\,z^2 - a^2\,},
logo
w(z) =U_{\infty} +\frac{q\,a}{\pi\,(z^2 - a^2)}.

Passo 4

Os pontos de estagnação satisfazem w(z)=0, ou seja,
U_{\infty} +\frac{q\,a}{\pi\,(z^2 - a^2)} =0 \quad\Longrightarrow\quad z^2 - a^2 =-\frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}.
Definindo \displaystyle A=\frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}},
temos
z^2 =a^2 - A \quad\Longrightarrow\quad z =\pm\sqrt{\,a^2 - A\,}.
Para a^2>A esses dois valores são reais, localizados no eixo x, simetricamente em relação à origem:
x_{\text{estag}}=\pm\sqrt{a^2-\frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}}, \quad y_{\text{estag}}=0.

Resposta

Potencial complexo:
W(z) =U_{\infty}\,z +\frac{q}{2\pi}\ln(z - a) -\frac{q}{2\pi}\ln(z + a).
Velocidade complexa:
w(z) =U_{\infty} +\frac{q\,a}{\pi\,(z^2 - a^2)}.
Pontos de estagnação (no eixo x, reais) dados por
x=\pm\sqrt{\,a^2-\frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}\,}, \quad y=0,
válidos quando a^2>\dfrac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}.

Exercícios relacionados