Questão 9. Descreva o escoamento (potencial complexo, velocidade complexa e pontos de estagnação) dado por uma fonte q_{f} e um sumidouro q_{s} alinhados horizontalmente submetidos a uma corrente uniforme também horizontal U_{\infty} considerando os seguintes casos:
A fonte está a montante do sumidouro, ambos a uma distância a da origem, q_{f}(-a, 0), q_{s}(a, 0). E ambos tem a mesma intensidade (em módulo), q_{f}=-q_{s}=q. Utilize o script em octave para gerar as linhas de corrente. Elas descrevem o escoamento potencial em trono de um corpo batizado de sólido de Rankine.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o escoamento potencial obtido pela superposição de:
– um escoamento uniforme de velocidade U_{\infty} na direção x;
– uma fonte de intensidade q em z=-a;
– um sumidouro de intensidade -q em z=+a.
Precisamos obter o potencial complexo w(z), a velocidade complexa dw/dz e localizar os pontos de estagnação.

Passo 2

O princípio da superposição diz que o potencial complexo total é a soma dos potenciais individuais. Temos:
o escoamento uniforme
w_U(z) = U_{\infty}\,z,
a fonte em z=-a
w_f(z) = \frac{q}{2\pi}\ln(z + a),
e o sumidouro em z=+a
w_s(z) = -\frac{q}{2\pi}\ln(z - a).
Logo
w(z) = U_{\infty}\,z + \frac{q}{2\pi}\ln(z + a) - \frac{q}{2\pi}\ln(z - a) = U_{\infty}\,z + \frac{q}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{z + a}{z - a}\biggr).

Passo 3

A velocidade complexa é a derivada do potencial:
\frac{dw}{dz} = U_{\infty} + \frac{q}{2\pi}\Bigl(\frac{1}{z + a} - \frac{1}{z - a}\Bigr).
Aqui usamos \frac{d}{dz}\ln(z\pm a)=1/(z\pm a).

Passo 4

Os pontos de estagnação satisfazem dw/dz=0. No eixo real z=x, y=0 temos
U_{\infty} + \frac{q}{2\pi}\Bigl(\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x - a}\Bigr) =0.
Como \frac{1}{x + a}-\frac{1}{x - a}=-\frac{2a}{x^2 - a^2}, obtemos
U_{\infty} - \frac{q}{\pi}\,\frac{a}{x^2 - a^2} =0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - a^2 = \frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\sqrt{\,a^2 + \frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}\,}.
Logo há dois pontos de estagnação em
x=\pm x_s,\;y=0, \quad x_s=\sqrt{a^2 + \frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}}.

Passo 5

A função corrente é a parte imaginária de w:
\psi(x,y) = \Im\bigl[w(z)\bigr] = U_{\infty}\,y + \frac{q}{2\pi}\bigl[\arg(x + a + i\,y)-\arg(x - a + i\,y)\bigr].
A linha de corrente que passa pelos pontos de estagnação (onde \psi=0) forma o contorno do sólido de Rankine. Num script em Octave, gera-se uma malha (x,y), calcula-se \psi(x,y) e usa-se \texttt{contour(x,y,psi,[0 0])}
para traçar a curva \psi=0, obtendo o perfil do corpo.

Resposta

Potencial complexo:
w(z) = U_{\infty}\,z + \frac{q}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{z + a}{z - a}\biggr).
Velocidade complexa:
\frac{dw}{dz} = U_{\infty} + \frac{q}{2\pi}\Bigl(\frac{1}{z + a}-\frac{1}{z - a}\Bigr).
Pontos de estagnação:
x = \pm\sqrt{a^2 + \frac{q\,a}{\pi\,U_{\infty}}},\quad y=0.
Contorno do sólido de Rankine: a linha de corrente \psi(x,y)=0.

Exercícios relacionados