Questão ED5) Discos de alumínio são produzidos e a cada 15 minutos 3 discos são retirados da linha e pesados. Os dados obtidos durante um período de quase 7 horas estão apresentados na tabela abaixo. Estime e analise criticamente as estatísticas de média e variância do peso dos discos de alumínio (g).
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline N & Tempo & Obs & Amostra & Peso & N & Tempo & Obs & Amostra & Peso & N & Tempo & Obs & Amostra & Peso \
\hline 1 & 9:00 & 1 & 1 & 170,384 & 29 & 11:15 & 2 & 10 & 170,667 & 57 & 13:30 & 3 & 19 & 170,384 \
\hline 2 & 9:00 & 2 & 1 & 169,817 & 30 & 11:15 & 3 & 10 & 170,384 & 58 & 13:45 & 1 & 20 & 170,667 \
\hline 3 & 9:00 & 3 & 1 & 170,667 & 31 & 11:30 & 1 & 11 & 171,234 & 59 & 13:45 & 2 & 20 & 170,667 \
\hline 4 & 9:15 & 1 & 2 & 169,533 & 32 & 11:30 & 2 & 11 & 170,667 & 60 & 13:45 & 3 & 20 & 170,667 \
\hline 5 & 9:15 & 2 & 2 & 169,817 & 33 & 11:30 & 3 & 11 & 170,951 & 61 & 14:00 & 1 & 21 & 171,234 \
\hline 6 & 9:15 & 3 & 2 & 170,384 & 34 & 11:45 & 1 & 12 & 170,667 & 62 & 14:00 & 2 & 21 & 171,518 \
\hline 7 & 9:30 & 1 & 3 & 170,951 & 35 & 11:45 & 2 & 12 & 170,384 & 63 & 14:00 & 3 & 21 & 170,951 \
\hline 8 & 9:30 & 2 & 3 & 170,667 & 36 & 11:45 & 3 & 12 & 170,100 & 64 & 14:15 & 1 & 22 & 171,801 \
\hline 9 & 9:30 & 3 & 3 & 170,667 & 37 & 12:00 & 1 & 13 & 170,951 & 65 & 14:15 & 2 & 22 & 170,951 \
\hline 10 & 9:45 & 1 & 4 & 170,667 & 38 & 12:00 & 2 & 13 & 170,667 & 66 & 14:15 & 3 & 22 & 171,234 \
\hline 11 & 9:45 & 2 & 4 & 170,951 & 39 & 12:00 & 3 & 13 & 171,234 & 67 & 14:30 & 1 & 23 & 171,518 \
\hline 12 & 9:45 & 3 & 4 & 170,667 & 40 & 12:15 & 1 & 14 & 170,667 & 68 & 14:30 & 2 & 23 & 171,234 \
\hline 13 & 10:00 & 1 & 5 & 170,100 & 41 & 12:15 & 2 & 14 & 170,667 & 69 & 14:30 & 3 & 23 & 170,667 \
\hline 14 & 10:00 & 2 & 5 & 169,817 & 42 & 12:15 & 3 & 14 & 170,951 & 70 & 14:45 & 1 & 24 & 171,518 \
\hline 15 & 10:00 & 3 & 5 & 170,384 & 43 & 12:30 & 1 & 15 & 170,951 & 71 & 14:45 & 2 & 24 & 171,234 \
\hline 16 & 10:15 & 1 & 6 & 169,817 & 44 & 12:30 & 2 & 15 & 170,667 & 72 & 14:45 & 3 & 24 & 170,951 \
\hline 17 & 10:15 & 2 & 6 & 170,100 & 45 & 12:30 & 3 & 15 & 170,951 & 73 & 15:00 & 1 & 25 & 171,234 \
\hline 18 & 10:15 & 3 & 6 & 170,100 & 46 & 12:45 & 1 & 16 & 170,951 & 74 & 15:00 & 2 & 25 & 171,801 \
\hline 19 & 10:30 & 1 & 7 & 170,667 & 47 & 12:45 & 2 & 16 & 170,100 & 75 & 15:00 & 3 & 25 & 171,518 \
\hline 20 & 10:30 & 2 & 7 & 170,384 & 48 & 12:45 & 3 & 16 & 170,384 & 76 & 15:15 & 1 & 26 & 171,518 \
\hline 21 & 10:30 & 3 & 7 & 170,100 & 49 & 13:00 & 1 & 17 & 171,234 & 77 & 15:15 & 2 & 26 & 170,951 \
\hline 22 & 10:45 & 1 & 8 & 170,384 & 50 & 13:00 & 2 & 17 & 170,667 & 78 & 15:15 & 3 & 26 & 171,234 \
\hline 23 & 10:45 & 2 & 8 & 170,951 & 51 & 13:00 & 3 & 17 & 170,951 & 79 & 15:30 & 1 & 27 & 170,951 \
\hline 24 & 10:45 & 3 & 8 & 170,384 & 52 & 13:15 & 1 & 18 & 171,518 & 80 & 15:30 & 2 & 27 & 171,234 \
\hline 25 & 11:00 & 1 & 9 & 170,384 & 53 & 13:15 & 2 & 18 & 170,667 & 81 & 15:30 & 3 & 27 & 170,951 \
\hline 26 & 11:00 & 2 & 9 & 170,667 & 54 & 13:15 & 3 & 18 & 171,234 & 82 & 15:45 & 1 & 28 & 171,801 \
\hline 27 & 11:00 & 3 & 9 & 170,100 & 55 & 13:30 & 1 & 19 & 170,951 & 83 & 15:45 & 2 & 28 & 171,801 \
\hline 28 & 11:15 & 1 & 10 & 170,100 & 56 & 13:30 & 2 & 19 & 171,234 & 84 & 15:45 & 3 & 28 & 171,518 \
\hline

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Foi coletada uma amostra total de n=84 pesos de discos de alumínio (cada 15 min foram retirados 3 discos, formando 28 amostras de tamanho 3).
  • Os valores de peso (em gramas) aparecem na tabela; ao agrupar os valores distintos, há os pesos \,169,533;\;169,817;\;170,100;\;170,384;\;170,667;\;170,951;\;171,234;\;171,518;\;171,801\, com frequências respetivas 1,4,8,11,19,17,12,8,4 (soma =84).
  • O enunciado pede: estimar e analisar criticamente as estatísticas de média e variância do peso dos discos.
  • Resumo das informações importantes que vou usar (retiradas da tabela): n=84, os pesos e suas frequências conforme listado acima. Não há outros dados (p.ex. erro de medição) fornecidos.

Passo 2

O que é média amostral e como calculá-la (mini-aula):
  • A média amostral \bar{x} é o estimador do “valor médio” da população e é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde x_i são as observações e n o número total de observações.
  • Quando temos valores distintos com frequências f_j vale a forma equivalente
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{j} f_j x_j.
Isto é só a soma ponderada dos valores pelas suas frequências, dividida por n.
Cálculo prático (usei as frequências extraídas da tabela):
  • \sum_{i=1}^{n} x_i = 14346,821 (soma de todos os pesos, em g).
  • Logo
\bar{x}=\frac{14346,821}{84}=170,7954880952381\ldots
  • Arredondando para três casas decimais:
\bar{x}\approx 170,795\\ \text{g}.

Passo 3

O que é variância amostral e por que dividir por n-1 (mini-aula):
  • A variância amostral não-viciada (estimador de \sigma^2) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Explicação simples: usamos n-1 porque ao estimar com \bar{x} já usamos um grau de liberdade; dividir por n-1 corrige o viés e dá um estimador neutro (não-viciado) da variância populacional.
  • Em prática computacional é comum usar a identidade
\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2=\sum_{i}x_i^2 - n\bar{x}^2,
então
s^2=\frac{\sum_{i}x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.

Passo 4

Cálculo de \sum x_i^2 (como obtive) e cálculo da variância:
  • Agrupei os valores e calculei \sum x_i^2 por frequência; o resultado foi
\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 2450394,703837\\ (\text{g}^2).
  • Já sabemos n=84 e \bar{x} do Passo 2. Então
\sum_{i}x_i^2 - n\bar{x}^2 =2450394,703837 - 84\cdot(170,7954880952381)^2 \approx 22,411259716.
  • Aplicando a fórmula da variância amostral:
s^2=\frac{22,411259716}{84-1}=\frac{22,411259716}{83}\approx 0,2700151\\ (\text{g}^2).
  • O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{0,2700151}\approx 0,5197\\ \text{g}.

Passo 5

Interpretação numérica simples (o que esses números dizem):
  • A média estimada dos pesos é \bar{x}\approx 170,795\\ \text{g}.
  • A variança amostral estimada é s^2\approx 0,270\\ \text{g}^2, que corresponde a um desvio padrão s\approx 0,520\\ \text{g}.
  • Em outras palavras, a maioria dos discos tem peso perto de 170,8\\ \text{g} com dispersão típica de cerca de meio grama.

Passo 6

Análise crítica adicional: estrutura de amostragem por blocos (3 em 3) e decomposição da variância (mini-aula e aplicação)
  • Observação prática: os dados foram coletados em 28 amostras (ou “subgrupos”) de tamanho 3 ao longo do tempo. Quando há esse desenho, faz sentido decompor a variância total em duas componentes:
    • variabilidade “within” (dentro do subgrupo): flutuação entre os 3 discos colhidos no mesmo instante,
    • variabilidade “between” (entre subgrupos): variação das médias dos subgrupos ao longo do tempo.
  • Formalmente vale a identidade (soma de quadrados):
\text{SS}_{\text{total}}=\text{SS}_{\text{between}}+\text{SS}_{\text{within}},
com \text{SS}_{\text{total}}=(n-1)s^2.
  • Calculei as médias dos 28 subgrupos (cada uma com 3 observações) e obtive:
    • soma dos quadrados dentro dos subgrupos \text{SS}_{\text{within}}\approx 5,895591,
    • portanto \text{SS}_{\text{between}}=(n-1)s^2-\text{SS}_{\text{within}}\approx 22,41126-5,895591\approx 16,515669.
  • Para obter estimadores de variâncias componente:
    • variância within (estimador por quadrados médios): \;MS_{\text{within}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{within}}}{n-k}=\dfrac{5,895591}{84-28}=\dfrac{5,895591}{56}\approx 0,105278\\ \text{g}^2.
    • variância between (média dos desvios das médias de grupo): \;MS_{\text{between}}=\dfrac{\text{SS}_{\text{between}}}{k-1}=\dfrac{16,515669}{27}\approx 0,611\\ \text{g}^2.
  • Em desvios padrão correspondentes:
    • s_{\text{within}}\approx\sqrt{0,105278}\approx 0,325\\ \text{g},
    • s_{\text{between}}\approx\sqrt{0,611}\approx 0,782\\ \text{g}.

Passo 7

Interpretação crítica dos resultados e implicações práticas
  • A variabilidade total (~ s\approx0,52\\ \text{g}) é composta de duas partes: a variação imediata entre discos colhidos ao mesmo instante (within, ~ 0,325\\ \text{g}) e variação das médias ao longo do tempo (between, ~ 0,782\\ \text{g}). A componente between é numericamente maior: grande parcela da variância total provém de flutuações entre subperíodos (mudanças ao longo das horas) e não apenas da variação entre discos isolados no mesmo instante.
  • Isso indica que o processo pode estar sofrendo variações ao longo do tempo (p.ex. deriva do equipamento, ajustes, temperatura, alimentação da máquina) — algo relevante para controle de processo. Se o objetivo é reduzir a variabilidade do peso, é importante investigar causas que atuem entre subgrupos (timing, setup) e não só variabilidade randômica de disco a disco.
  • Limitações e cuidados:
    • cada subgrupo tem apenas 3 observações, o que reduz a precisão na estimativa da variabilidade within (poucos graus de liberdade por grupo);
    • as observações ao longo do tempo podem ser autocorrelacionadas (p.ex. tendência lenta), o que quebra a hipótese de independência que muitas análises usam;
    • medições podem ter erro sistemático (calibração da balança) não avaliado aqui.
  • Sugestões práticas:
    • verificar trajetória das médias por tempo (gráfico de médias por subgrupo) para detectar tendência ou mudanças pontuais;
    • aumentar tamanho dos subgrupos ou aumentar número de amostras em períodos críticos para estimativas mais robustas;
    • investigar causas especiais quando uma mudança entre subgrupos for detectada.

Resposta

\bar{x}\approx 170,795\\ \text{g}
s^2\\ (\text{variância amostral não-viciada})\approx 0,270\\ \text{g}^2âã
s\\ (\text{desvio padrão amostral})\approx 0,520\\ \text{g}ã
MS_{\text{within}}\approx 0,105\\ \text{g}^2 ( s_{\text{within}}\approx 0,325\\ \text{g} )
MS_{\text{between}}\approx 0,611\\ \text{g}^2 ( s_{\text{between}}\approx 0,782\\ \text{g} )

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