Questão 3.3 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação: \vec{V}(x, y, z, t)= -3 x y \vec{\imath}-y z \vec{\jmath}+3 x z \vec{k}. Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em relação à compressibilidade e em relação à rotacionalidade. Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração, \vec{a}(x, y, z, t)=a_{x} \vec{\imath}+a_{y} \vec{\jmath}+a_{z} \vec{k} no ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) =(0,-1,1) para um tempo t qualquer.
d) Determinar o tensor taxa de deformação para este escoamento.
Passo 1
O enunciado fornece o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,z,t)= -3 x y\,\vec{\imath}-y z\,\vec{\jmath}+3 x z\,\vec{k},
e pede:
(a) classificar o regime de operação: permanente (steady) ou transitório (unsteady) e justificar;
(b) classificar em relação à compressibilidade e à rotacionalidade, com justificativa;
(c) determinar o vetor aceleração \vec{a}(x,y,z,t)=a_x\vec{\imath}+a_y\vec{\jmath}+a_z\vec{k} no ponto (x,y,z)=(0,-1,1) para tempo t qualquer;
(d) determinar o tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade) para este escoamento.
Passo 2
Decidir se o escoamento é permanente ou transitório.
Observação prática: um escoamento é permanente (steady) quando o campo de velocidades não depende explicitamente do tempo t; isto é, quando \partial\vec V/\partial t=\vec{0}. Se houver dependência explícita em t, o escoamento é transitório (unsteady).
No nosso caso cada componente de \vec V é função apenas de x,y,z (não há t aparecendo):
\vec{V}(x,y,z,t)= -3 x y\,\vec{\imath}-y z\,\vec{\jmath}+3 x z\,\vec{k},
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\frac{\partial \vec V}{\partial t}=\vec{0}.
Conclusão: o escoamento é permanente.
Passo 3
Classificação quanto à compressibilidade: calcular a divergência \nabla\cdot\vec V.
Definição e interpretação rápida: \nabla\cdot\vec V=\dfrac{\partial V_x}{\partial x}+\dfrac{\partial V_y}{\partial y}+\dfrac{\partial V_z}{\partial z}. Para um fluido incompressível a divergência deve ser zero em todo o domínio; se a divergência não for identicamente zero, o escoamento é compressível (ou, pelo menos, não incompressível globalmente).
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Esse resultado não é identicamente zero (é função de x,y,z); portanto o escoamento, em geral, é compressível. (Em pontos específicos onde -3y-z+3x=0 a divergência anula-se localmente, mas isso não torna o campo globalmente incompressível.)
Passo 4
Classificação quanto à rotacionalidade: calcular o rotacional (vorticidade) \nabla\times\vec V.
Definição e objetivo curto: \nabla\times\vec V mede a rotação local do fluido; se \nabla\times\vec V=\vec{0} em toda a região, o escoamento é irrotacional; se não, é rotacional.
\nabla\times\vec V = (0-(-y))\vec{\imath} + (0-3z)\vec{\jmath} + (0-(-3x))\vec{k} = y\,\vec{\imath}-3z\,\vec{\jmath}+3x\,\vec{k}.
Como a vorticidade não é identicamente nula, o escoamento é rotacional (novo voto: rotacional). (Novamente, em pontos isolados onde y=0,\\ z=0,\\ x=0 simultaneamente a vorticidade pode anular, mas isso não caracteriza o campo globalmente como irrotacional.)
Passo 5
Determinar a aceleração material: fórmula e interpretação.
Fórmula fundamental: o vetor aceleração de partícula do fluido (aceleração material) é
\vec a = \frac{D\vec V}{Dt} = \frac{\partial \vec V}{\partial t} + (\vec V\cdot\nabla)\vec V.
Comentário curto: \partial\vec V/\partial t é a variação local no tempo (nossa é zero porque o campo é permanente); o termo (\vec V\cdot\nabla)\vec V é a variação convectiva (o efeito de transportar velocidades por posições diferentes).
Aqui \partial\vec V/\partial t=\vec 0, então
\vec a=(\vec V\cdot\nabla)\vec V.
Calculamos componente a componente. Lembremos a definição:
(\vec V\cdot\nabla)\vec V = \big(V_x\partial_x+V_y\partial_y+V_z\partial_z\big)\big(V_x\vec{\imath}+V_y\vec{\jmath}+V_z\vec{k}\big).
Já temos as derivadas parciais (Passo 3 e 4). Vamos montar cada componente:
Comentário físico curto: \mathbf D mede as taxas de alongamento e deformação pura; a parte antissimétrica \tfrac12(\nabla\vec V-(\nabla\vec V)^T) estaria ligada à rotação rígida local (relacionada à vorticidade).]