Questão 3.3 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação: \vec{V}(x, y, z, t)= -3 x y \vec{\imath}-y z \vec{\jmath}+3 x z \vec{k}. Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em relação à compressibilidade e em relação à rotacionalidade. Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração, \vec{a}(x, y, z, t)=a_{x} \vec{\imath}+a_{y} \vec{\jmath}+a_{z} \vec{k} no ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) =(0,-1,1) para um tempo t qualquer.
d) Determinar o tensor taxa de deformação para este escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,z,t)= -3 x y\,\vec{\imath}-y z\,\vec{\jmath}+3 x z\,\vec{k},
e pede:
  • (a) classificar o regime de operação: permanente (steady) ou transitório (unsteady) e justificar;
  • (b) classificar em relação à compressibilidade e à rotacionalidade, com justificativa;
  • (c) determinar o vetor aceleração \vec{a}(x,y,z,t)=a_x\vec{\imath}+a_y\vec{\jmath}+a_z\vec{k} no ponto (x,y,z)=(0,-1,1) para tempo t qualquer;
  • (d) determinar o tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade) para este escoamento.

Passo 2

Decidir se o escoamento é permanente ou transitório.
Observação prática: um escoamento é permanente (steady) quando o campo de velocidades não depende explicitamente do tempo t; isto é, quando \partial\vec V/\partial t=\vec{0}. Se houver dependência explícita em t, o escoamento é transitório (unsteady).
No nosso caso cada componente de \vec V é função apenas de x,y,z (não há t aparecendo):
\vec{V}(x,y,z,t)= -3 x y\,\vec{\imath}-y z\,\vec{\jmath}+3 x z\,\vec{k},
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\frac{\partial \vec V}{\partial t}=\vec{0}.
Conclusão: o escoamento é permanente.

Passo 3

Classificação quanto à compressibilidade: calcular a divergência \nabla\cdot\vec V.
Definição e interpretação rápida: \nabla\cdot\vec V=\dfrac{\partial V_x}{\partial x}+\dfrac{\partial V_y}{\partial y}+\dfrac{\partial V_z}{\partial z}. Para um fluido incompressível a divergência deve ser zero em todo o domínio; se a divergência não for identicamente zero, o escoamento é compressível (ou, pelo menos, não incompressível globalmente).
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
V_x=-3xy\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial V_x}{\partial x}=-3y,
V_y=-yz\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial V_y}{\partial y}=-z,
V_z=3xz\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial V_z}{\partial z}=3x.
Somando:
\nabla\cdot\vec V = -3y - z + 3x.
Esse resultado não é identicamente zero (é função de x,y,z); portanto o escoamento, em geral, é compressível. (Em pontos específicos onde -3y-z+3x=0 a divergência anula-se localmente, mas isso não torna o campo globalmente incompressível.)

Passo 4

Classificação quanto à rotacionalidade: calcular o rotacional (vorticidade) \nabla\times\vec V.
Definição e objetivo curto: \nabla\times\vec V mede a rotação local do fluido; se \nabla\times\vec V=\vec{0} em toda a região, o escoamento é irrotacional; se não, é rotacional.
Usamos a fórmula componente a componente:
\nabla\times\vec V = \Big(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\Big)\vec{\imath}+\Big(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\Big)\vec{\jmath}+\Big(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)\vec{k}.
Calculemos as derivadas necessárias:
\frac{\partial V_z}{\partial y}=\frac{\partial(3xz)}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial z}=\frac{\partial(-yz)}{\partial z}=-y,
\frac{\partial V_x}{\partial z}=\frac{\partial(-3xy)}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial V_z}{\partial x}=\frac{\partial(3xz)}{\partial x}=3z,
\frac{\partial V_y}{\partial x}=\frac{\partial(-yz)}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=\frac{\partial(-3xy)}{\partial y}=-3x.
Substituindo:
\nabla\times\vec V = (0-(-y))\vec{\imath} + (0-3z)\vec{\jmath} + (0-(-3x))\vec{k} = y\,\vec{\imath}-3z\,\vec{\jmath}+3x\,\vec{k}.
Como a vorticidade não é identicamente nula, o escoamento é rotacional (novo voto: rotacional). (Novamente, em pontos isolados onde y=0,\\ z=0,\\ x=0 simultaneamente a vorticidade pode anular, mas isso não caracteriza o campo globalmente como irrotacional.)

Passo 5

Determinar a aceleração material: fórmula e interpretação.
Fórmula fundamental: o vetor aceleração de partícula do fluido (aceleração material) é
\vec a = \frac{D\vec V}{Dt} = \frac{\partial \vec V}{\partial t} + (\vec V\cdot\nabla)\vec V.
Comentário curto: \partial\vec V/\partial t é a variação local no tempo (nossa é zero porque o campo é permanente); o termo (\vec V\cdot\nabla)\vec V é a variação convectiva (o efeito de transportar velocidades por posições diferentes).
Aqui \partial\vec V/\partial t=\vec 0, então
\vec a=(\vec V\cdot\nabla)\vec V.
Calculamos componente a componente. Lembremos a definição:
(\vec V\cdot\nabla)\vec V = \big(V_x\partial_x+V_y\partial_y+V_z\partial_z\big)\big(V_x\vec{\imath}+V_y\vec{\jmath}+V_z\vec{k}\big).
Já temos as derivadas parciais (Passo 3 e 4). Vamos montar cada componente:
a) Componente a_x:
a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}+V_z\frac{\partial V_x}{\partial z}.
Substituindo V_x=-3xy, V_y=-yz, V_z=3xz e as derivadas \frac{\partial V_x}{\partial x}=-3y,\\ \frac{\partial V_x}{\partial y}=-3x,\\ \frac{\partial V_x}{\partial z}=0:
a_x = (-3xy)(-3y)+(-yz)(-3x)+(3xz)\cdot 0 = 9xy^2+3xyz.
b) Componente a_y:
a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}+V_z\frac{\partial V_y}{\partial z}.
Usando \frac{\partial V_y}{\partial x}=0,\\ \frac{\partial V_y}{\partial y}=-z,\\ \frac{\partial V_y}{\partial z}=-y:
a_y = (-3xy)\cdot 0 + (-yz)(-z) + (3xz)(-y) = y z^2 -3xyz.
c) Componente a_z:
a_z=V_x\frac{\partial V_z}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_z}{\partial y}+V_z\frac{\partial V_z}{\partial z}.
Usando \frac{\partial V_z}{\partial x}=3z,\\ \frac{\partial V_z}{\partial y}=0,\\ \frac{\partial V_z}{\partial z}=3x:
a_z = (-3xy)(3z) + (-yz)\cdot 0 + (3xz)(3x) = -9xyz + 9x^2 z.
Assim a expressão geral da aceleração material é
\vec a(x,y,z,t) = \big(9xy^2+3xyz\big)\vec{\imath} + \big(y z^2 -3xyz\big)\vec{\jmath} + \big(-9xyz+9x^2 z\big)\vec{k}.
Observação: aqui não há dependência explícita de t.

Passo 6

Avaliar \vec a no ponto (x,y,z)=(0,-1,1).
Substituindo x=0,\\ y=-1,\\ z=1 nas expressões obtidas no Passo 5:
a_x(0,-1,1)=9\cdot 0\cdot(-1)^2 + 3\cdot 0\cdot(-1)\cdot 1 = 0,
a_y(0,-1,1)=(-1)\cdot 1^2 -3\cdot 0\cdot(-1)\cdot 1 = -1,
a_z(0,-1,1)=-9\cdot 0\cdot(-1)\cdot 1 + 9\cdot 0^2\cdot 1 = 0.
Portanto
\vec a(0,-1,1,t)=0\,\vec{\imath}-1\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k},
ou de forma vetorial condensada \vec a(0,-1,1,t)=(0,-1,0). Nota: independente de t (porque o campo é permanente).

Passo 7

Determinar o tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
Definição: o tensor taxa de deformação \mathbf{D} tem componentes
D_{ij}=\frac12\Big(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\Big),
ou em notação de matriz simétrica
\mathbf{D}=\frac12\big(\nabla\vec V + (\nabla\vec V)^{T}\big).
Primeiro escrevemos a matriz gradiente \nabla\vec V com \partial V_i/\partial x_j:
\nabla\vec V = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_x}{\partial x} & \frac{\partial V_x}{\partial y} & \frac{\partial V_x}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial V_y}{\partial x} & \frac{\partial V_y}{\partial y} & \frac{\partial V_y}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial V_z}{\partial x} & \frac{\partial V_z}{\partial y} & \frac{\partial V_z}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3y & -3x & 0 \\[4pt] 0 & -z & -y \\[4pt] 3z & 0 & 3x \end{pmatrix}.
Agora a parte simétrica \mathbf{D}=\tfrac12(\nabla\vec V+(\nabla\vec V)^T) tem componentes:
  • Diagonais:
D_{11}=\frac{\partial V_x}{\partial x}=-3y,\qquad D_{22}=\frac{\partial V_y}{\partial y}=-z,\qquad D_{33}=\frac{\partial V_z}{\partial z}=3x.
  • Off-diagonais (simetrizados):
D_{12}=D_{21}=\tfrac12\big(\frac{\partial V_x}{\partial y}+\frac{\partial V_y}{\partial x}\big)=\tfrac12(-3x+0)=-\tfrac{3x}{2},
D_{13}=D_{31}=\tfrac12\big(\frac{\partial V_x}{\partial z}+\frac{\partial V_z}{\partial x}\big)=\tfrac12(0+3z)=\tfrac{3z}{2},
D_{23}=D_{32}=\tfrac12\big(\frac{\partial V_y}{\partial z}+\frac{\partial V_z}{\partial y}\big)=\tfrac12(-y+0)=-\tfrac{y}{2}.
Logo, o tensor taxa de deformação é a matriz simétrica
\mathbf{D}(x,y,z)= \begin{pmatrix} -3y & -\tfrac{3x}{2} & \tfrac{3z}{2} \\[6pt] -\tfrac{3x}{2} & -z & -\tfrac{y}{2} \\[6pt] \tfrac{3z}{2} & -\tfrac{y}{2} & 3x \end{pmatrix}.
Comentário físico curto: \mathbf D mede as taxas de alongamento e deformação pura; a parte antissimétrica \tfrac12(\nabla\vec V-(\nabla\vec V)^T) estaria ligada à rotação rígida local (relacionada à vorticidade).]

Resposta

(a) Permanente (steady): \displaystyle \frac{\partial\vec V}{\partial t}=\vec 0.\n
(b) Compressível: \displaystyle \nabla\cdot\vec V=-3y-z+3x (não nulo em geral). Rotacional: \displaystyle \nabla\times\vec V= y\,\vec{\imath}-3z\,\vec{\jmath}+3x\,\vec{k} (não nulo em geral).\n
(c) \displaystyle \vec a(0,-1,1,t)=0\,\vec{\imath}-1\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k}=(0,-1,0).\n
(d) \displaystyle \mathbf{D}(x,y,z)=\begin{pmatrix}-3y & -\tfrac{3x}{2} & \tfrac{3z}{2}\\[6pt]-\tfrac{3x}{2} & -z & -\tfrac{y}{2}\\[6pt]\tfrac{3z}{2} & -\tfrac{y}{2} & 3x\end{pmatrix}.]

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