Questão 3.5 Um escoamento de um fluido possui como equação de seu campo de velocidades a seguinte expressão:
. Sabendo-se que
e
, determinar:
a. A dimensão do escoamento e sua classificação em relação à dependência da variável tempo. Justifique cada resposta.
b. O módulo e a direção do vetor aceleração no pto. ( 1,3 ).
c. As taxas de deformação lineares para o escoamento e classificar o escoamento em compressível ou não. Justificar com os cálculos necessários.
d. O vetor velocidade angular e classificar o escoamento em rotacional ou irrotacional. Justificar com cálculos adequados.
e. As equações da linha de corrente, da linha de emissão e da linha de trajetória que passam no ponto
.
a. A dimensão do escoamento e sua classificação em relação à dependência da variável tempo. Justifique cada resposta.
b. O módulo e a direção do vetor aceleração no pto. ( 1,3 ).
c. As taxas de deformação lineares para o escoamento e classificar o escoamento em compressível ou não. Justificar com os cálculos necessários.
d. O vetor velocidade angular e classificar o escoamento em rotacional ou irrotacional. Justificar com cálculos adequados.
e. As equações da linha de corrente, da linha de emissão e da linha de trajetória que passam no ponto
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
com os valores numéricos
,
e
. As perguntas são:
a. Determinar a dimensão do escoamento (1D/2D/3D) e classificar quanto à dependência do tempo (estacionário/instacionário), justificando.
b. Calcular o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto
.
c. Calcular as taxas de deformação lineares do escoamento e decidir se é compressível ou incompressível, justificando com cálculos.
d. Determinar o vetor velocidade angular (relacionado à rotação local) e classificar o escoamento em rotacional ou irrotacional, com justificativa.
e. Obter as equações da linha de corrente (streamline), da linha de emissão (streakline) e da linha de trajetória (pathline) que passam pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro escrevemos explicitamente as componentes da velocidade (para facilitar as contas):
Note os valores numéricos que usaremos:
,
,
. Não resolvemos nada ainda — apenas deixamos as expressões claras para usá-las nas próximas etapas.
Passo 3
Aceleração material (ou substantiva) de um ponto de fluido é dada por
Explicando:
é a derivada local no tempo (variação explícita com
) e
é o termo convectivo que representa variação quando a partícula se desloca no campo de velocidades.
Observação útil: se
não depende explicitamente de
, então
e a aceleração é só o termo convectivo.
No nosso caso
depende apenas de
e
(parâmetros espaciais) e não tem
explícito; portanto o escoamento é estacionário e
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Agora o termo convectivo componente a componente:
Substituindo
e
pelas expressões:
Agora avaliamos no ponto
com
. Primeiro calcule
.
Portanto o vetor aceleração no ponto é
Passo 4
Calculamos o módulo e a direção do vetor aceleração.
Módulo:
Direção (ângulo
contado a partir do eixo
):
Também podemos dar o versor direção:
Passo 5
Taxas lineares de deformação (componentes normais da taxa de deformação) e taxa de cisalhamento:
Definições (explicadas): a taxa de deformação linear normal na direção
é
; na direção
é
. A taxa de cisalhamento (simétrica) é
.
Usando as derivadas já calculadas:
A taxa volumétrica de dilatação (divergência do campo de velocidades) é
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível (nenhuma variação volumétrica local dos elementos de fluido). Essa conclusão é válida independentemente do ponto, pois as derivadas são constantes.
Passo 6
Vetor velocidade angular / rotação local.
Contexto e fórmula: o tensor de rotação (parte antissimétrica do gradiente de velocidades) tem relação com a vorticidade. O componente escalar da vorticidade em 2D é
O vetor velocidade angular (velocidade angular local das partículas) é normalmente tomado como
. Para 2D só há componente em
.
Calculamos as derivadas:
logo
Portanto
Conclusão: o escoamento é irrotacional (não há rotação local dos elementos de fluido).
Passo 7
Equação da linha de corrente (streamline).
Definição prática para escoamento estacionário: a linha de corrente satisfaz a ODE
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para
. Reescrevemos na forma linear:
Fator integrante:
Multiplicando a ODE pelo fator integrante:
Reconhece-se que a esquerda é a derivada de
, então
Integrando,
onde
é constante da integração. Assim a família de linhas de corrente é
Agora impomos que a linha de corrente passe por
para encontrar
:
Substituindo
:
Portanto a linha de corrente que passa por
é
Passo 8
Equações da linha de trajetória (pathline) que passa por
.
Definição: a trajetória de uma partícula é solução do sistema ordinário temporal
com condição inicial (escolhemos
)
.
Ambas são equações lineares decoupladas; resolvemos cada uma.
Para
:
Fator integrante
. Integrando:
Com
e
:
Para
:
Fator integrante
. Integrando:
Com
e
:
Estas são as equações paramétricas da trajetória que passa por
em
.
Passo 9
Linha de emissão (streakline) que passa por
.
Explicação curta: a linha de emissão (streakline) é o lugar ocupado, num dado instante, por partículas que passaram por um ponto de emissão fixo. Para escoamento estacionário (sem dependência explícita de
) as linhas de corrente, linhas de trajetória e linhas de emissão coincidem. Portanto, a linha de emissão que passa por
tem a mesma equação da linha de corrente obtida no Passo 7:
Como verificação (não necessária, mas didática): eliminando
entre
e
obtém-se exatamente essa relação (logo streamline = pathline).
Resposta
a. Escoamento bidimensional (2D). Escoamento estacionário (não depende explicitamente de
).\n
b. ;\quad
;\quad direção
em relação ao eixo
.\n
c. Como
, o escoamento é incompressível.\n
d. vetor velocidade angular
. O escoamento é irrotacional.\n
e. Linha de corrente (e linha de emissão): \
Linha de trajetória (paramétrica, com em
):
b.
c.
d.
e. Linha de corrente (e linha de emissão):
Linha de trajetória (paramétrica, com