Questão 3.5 Um escoamento de um fluido possui como equação de seu campo de velocidades a seguinte expressão: \vec{V}=(A x+B) \vec{\imath}+(C-A y) \vec{\jmath}. Sabendo-se que A=3 s-1, B=6 m s-1 e C=4 m s-1, determinar:
a. A dimensão do escoamento e sua classificação em relação à dependência da variável tempo. Justifique cada resposta.
b. O módulo e a direção do vetor aceleração no pto. ( 1,3 ).
c. As taxas de deformação lineares para o escoamento e classificar o escoamento em compressível ou não. Justificar com os cálculos necessários.
d. O vetor velocidade angular e classificar o escoamento em rotacional ou irrotacional. Justificar com cálculos adequados.
e. As equações da linha de corrente, da linha de emissão e da linha de trajetória que passam no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2,2).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
\vec{V}=(A x+B)\,\vec{\imath}+(C-A y)\,\vec{\jmath}
com os valores numéricos A=3\\ \mathrm{s^{-1}}, B=6\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e C=4\\ \mathrm{m\,s^{-1}}. As perguntas são:
a. Determinar a dimensão do escoamento (1D/2D/3D) e classificar quanto à dependência do tempo (estacionário/instacionário), justificando.
b. Calcular o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto (x,y)=(1,3).
c. Calcular as taxas de deformação lineares do escoamento e decidir se é compressível ou incompressível, justificando com cálculos.
d. Determinar o vetor velocidade angular (relacionado à rotação local) e classificar o escoamento em rotacional ou irrotacional, com justificativa.
e. Obter as equações da linha de corrente (streamline), da linha de emissão (streakline) e da linha de trajetória (pathline) que passam pelo ponto (2,2).

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente as componentes da velocidade (para facilitar as contas):
u(x,y) = A x + B,\qquad v(x,y) = C - A y.
Note os valores numéricos que usaremos: A=3, B=6, C=4. Não resolvemos nada ainda — apenas deixamos as expressões claras para usá-las nas próximas etapas.

Passo 3

Aceleração material (ou substantiva) de um ponto de fluido é dada por
\vec{a}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando: \partial\vec V/\partial t é a derivada local no tempo (variação explícita com t) e (\vec V\cdot\nabla)\vec V é o termo convectivo que representa variação quando a partícula se desloca no campo de velocidades.
Observação útil: se \vec V não depende explicitamente de t, então \partial\vec V/\partial t=0 e a aceleração é só o termo convectivo.
No nosso caso \vec V depende apenas de x e y (parâmetros espaciais) e não tem t explícito; portanto o escoamento é estacionário e
\vec{a}=(\vec V\cdot\nabla)\vec V.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=A,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-A.
Agora o termo convectivo componente a componente:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=u\cdot A + v\cdot 0 = A u,
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=u\cdot 0 + v\cdot(-A) = -A v.
Substituindo u e v pelas expressões:
a_x = A(A x + B)=A^2 x + A B,
a_y = -A(C - A y) = -A C + A^2 y.
Agora avaliamos no ponto (x,y)=(1,3) com A=3,\\ B=6,\\ C=4. Primeiro calcule A^2=9.
a_x = 9\cdot 1 + 3\cdot 6 = 9 + 18 = 27\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
a_y = -3\cdot 4 + 9\cdot 3 = -12 +27 = 15\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Portanto o vetor aceleração no ponto é
\vec a(1,3)=27\,\vec{\imath}+15\,\vec{\jmath}\\ \mathrm{(m\,s^{-2})}.

Passo 4

Calculamos o módulo e a direção do vetor aceleração.
Módulo:
\|\vec a\|=\sqrt{27^2+15^2}=\sqrt{729+225}=\sqrt{954}\approx30{,}887\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Direção (ângulo \theta contado a partir do eixo +x):
\theta=\arctan\!\left(\frac{a_y}{a_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{15}{27}\right)=\arctan\!\left(\frac{5}{9}\right)\approx29{,}05^\circ.
Também podemos dar o versor direção:
\hat{a}=\frac{\vec a}{\|\vec a\|}=\left(\frac{27}{\sqrt{954}}\right)\vec{\imath}+\left(\frac{15}{\sqrt{954}}\right)\vec{\jmath}.

Passo 5

Taxas lineares de deformação (componentes normais da taxa de deformação) e taxa de cisalhamento:
Definições (explicadas): a taxa de deformação linear normal na direção x é \dot\varepsilon_{xx}=\partial u/\partial x; na direção y é \dot\varepsilon_{yy}=\partial v/\partial y. A taxa de cisalhamento (simétrica) é \dot\gamma_{xy}=\partial u/\partial y+\partial v/\partial x.
Usando as derivadas já calculadas:
\dot\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}=A=3\\ \mathrm{s^{-1}},
\dot\varepsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}=-A=-3\\ \mathrm{s^{-1}},
\dot\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0+0=0\\ \mathrm{s^{-1}}.
A taxa volumétrica de dilatação (divergência do campo de velocidades) é
\nabla\cdot\vec V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=A+(-A)=0.
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível (nenhuma variação volumétrica local dos elementos de fluido). Essa conclusão é válida independentemente do ponto, pois as derivadas são constantes.

Passo 6

Vetor velocidade angular / rotação local.
Contexto e fórmula: o tensor de rotação (parte antissimétrica do gradiente de velocidades) tem relação com a vorticidade. O componente escalar da vorticidade em 2D é
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
O vetor velocidade angular (velocidade angular local das partículas) é normalmente tomado como \vec\Omega=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec V. Para 2D só há componente em z.
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
logo
\omega_z=0-0=0.
Portanto
\vec\Omega=\frac{1}{2}\omega_z\,\hat{k}=0.
Conclusão: o escoamento é irrotacional (não há rotação local dos elementos de fluido).

Passo 7

Equação da linha de corrente (streamline).
Definição prática para escoamento estacionário: a linha de corrente satisfaz a ODE
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y)}{u(x,y)}=\frac{C-Ay}{Ax+B}.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para y(x). Reescrevemos na forma linear:
\frac{dy}{dx}+\frac{A}{Ax+B}\,y=\frac{C}{Ax+B}.
Fator integrante: \mu(x)=\exp\!\big(\int \frac{A}{Ax+B}\,dx\big)=\exp(\ln(Ax+B))=Ax+B.
Multiplicando a ODE pelo fator integrante:
(Ax+B)\frac{dy}{dx}+A y = C.
Reconhece-se que a esquerda é a derivada de (Ax+B)y, então
\frac{d}{dx}\big((Ax+B)y\big)=C.
Integrando,
(Ax+B)y = Cx + K,
onde K é constante da integração. Assim a família de linhas de corrente é
y(x)=\frac{Cx+K}{Ax+B}.
Agora impomos que a linha de corrente passe por (2,2) para encontrar K:
2 = \frac{C\cdot 2 + K}{A\cdot 2 + B}.
Substituindo A=3,B=6,C=4:
2 = \frac{8+K}{6+6}=\frac{8+K}{12}\quad\Rightarrow\quad 8+K=24\quad\Rightarrow\quad K=16.
Portanto a linha de corrente que passa por (2,2) é
y(x)=\frac{4x+16}{3x+6}.

Passo 8

Equações da linha de trajetória (pathline) que passa por (2,2).
Definição: a trajetória de uma partícula é solução do sistema ordinário temporal
\frac{dx}{dt}=u(x,y)=Ax+B,\qquad \frac{dy}{dt}=v(x,y)=C-Ay,
com condição inicial (escolhemos t=0) x(0)=2,\\ y(0)=2.
Ambas são equações lineares decoupladas; resolvemos cada uma.
Para x(t):
\frac{dx}{dt}-A x = B.
Fator integrante e^{-At}. Integrando:
x(t)=\Big(x(0)+\frac{B}{A}\Big)e^{At}-\frac{B}{A}.
Com x(0)=2 e B/A=6/3=2:
x(t)=(2+2)e^{3t}-2=4e^{3t}-2.
Para y(t):
\frac{dy}{dt}+A y = C.
Fator integrante e^{At}. Integrando:
y(t)=\frac{C}{A}+\Big(y(0)-\frac{C}{A}\Big)e^{-At}.
Com y(0)=2 e C/A=4/3:
y(t)=\frac{4}{3}+\Big(2-\frac{4}{3}\Big)e^{-3t}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}e^{-3t}.
Estas são as equações paramétricas da trajetória que passa por (2,2) em t=0.

Passo 9

Linha de emissão (streakline) que passa por (2,2).
Explicação curta: a linha de emissão (streakline) é o lugar ocupado, num dado instante, por partículas que passaram por um ponto de emissão fixo. Para escoamento estacionário (sem dependência explícita de t) as linhas de corrente, linhas de trajetória e linhas de emissão coincidem. Portanto, a linha de emissão que passa por (2,2) tem a mesma equação da linha de corrente obtida no Passo 7:
y(x)=\frac{4x+16}{3x+6}.
Como verificação (não necessária, mas didática): eliminando t entre x(t) e y(t) obtém-se exatamente essa relação (logo streamline = pathline).

Resposta

a. Escoamento bidimensional (2D). Escoamento estacionário (não depende explicitamente de t).\n
b. \vec a(1,3)=27\,\vec{\imath}+15\,\vec{\jmath}\\ \mathrm{m\,s^{-2}};\quad \|\vec a\|=\sqrt{954}\approx30{,}887\\ \mathrm{m\,s^{-2}};\quad direção \theta=\arctan\!\left(\tfrac{15}{27}\right)\approx29{,}05^\circ em relação ao eixo +x.\n
c. \dot\varepsilon_{xx}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=A=3\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \dot\varepsilon_{yy}=\dfrac{\partial v}{\partial y}=-A=-3\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \dot\gamma_{xy}=0. Como \nabla\cdot\vec V=0, o escoamento é incompressível.\n
d. \nabla\times\vec V=0\Rightarrow vetor velocidade angular \vec\Omega=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec V=\vec 0. O escoamento é irrotacional.\n
e. Linha de corrente (e linha de emissão): \displaystyle y(x)=\frac{4x+16}{3x+6}.\
Linha de trajetória (paramétrica, com t=0 em (2,2)): \displaystyle x(t)=4e^{3t}-2,\quad y(t)=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}e^{-3t}.

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