Questão 3.4 Determine, se for possível, os valores de a e b para que o perfil de velocidade dado seja incompressível e rotacional: V(x, y, z)=(2 x+4 y) i+(-2 x-3 z) j+(-2 a z+b y) k.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V}(x,y,z) = (2x+4y)\,\mathbf{i} + (-2x-3z)\,\mathbf{j} + (-2a z + b y)\,\mathbf{k}.
Pede-se determinar, se possível, os valores de a e b para que o perfil de velocidade seja incompressível e rotacional.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes do campo: V_x=2x+4y, V_y=-2x-3z, V_z=-2a z + b y.
  • Queremos simultaneamente: (i) incompressível (divergência nula) e (ii) rotacional (curl diferente de zero).

Passo 2

O que significa “incompressível” em linguagem matemática? Significa que a divergência do campo é zero:
\nabla\cdot\mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = 0.
Aqui cada termo é a derivada parcial da respectiva componente do campo em relação à variável indicada.

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial:
\frac{\partial V_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+4y)=2,
\frac{\partial V_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x-3z)=0\quad\text{(não há \(y\) em \(V_y\))},ãá
\frac{\partial V_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-2a z + b y)=-2a.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{V}=2+0-2a=2-2a.
Impondo incompressibilidade:
2-2a=0 \quad\Rightarrow\quad a=1.

Passo 4

Conclusão parcial: para o campo ser incompressível é necessário e suficiente que a=1. Observe que b não apareceu na condição de divergência, logo b ainda está livre neste passo.

Passo 5

Agora vamos a “rotacional”: em linguagem matemática, o rotacional (curl) é
\nabla\times\mathbf{V}=\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Explico: cada componente do curl é uma diferença de derivadas parciais das componentes do campo, conforme a fórmula acima.

Passo 6

Calculemos as derivadas necessárias (ainda com a simbólico, depois substituímos a=1 obtido pela divergência):
  • \displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2a z + b y)=b.
  • \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-2x-3z)=-3.
    Logo a componente x do curl é
(\nabla\times\mathbf{V})_x = b-(-3)=b+3.

Passo 7

Continuando:
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2x+4y)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial V_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2a z + b y)=0.
    Logo a componente y do curl é
(\nabla\times\mathbf{V})_y = 0-0=0.

Passo 8

E a componente z:
  • \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x-3z)=-2.
  • \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+4y)=4.
    Portanto
(\nabla\times\mathbf{V})_z = -2-4=-6.

Passo 9

Juntando, o rotacional geral é
\nabla\times\mathbf{V}=(b+3)\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}-6\,\mathbf{k}.
Note que essa expressão não envolve a (ou seja, o parâmetro a não afeta o curl).

Passo 10

Interpretação para a condição “rotacional”: normalmente isso significa que o campo tem rotacional não nulo (ou seja, \nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0}). Aqui o terceiro componente do curl é -6, constante e diferente de zero, portanto
\nabla\times\mathbf{V}\neq\mathbf{0}
para qualquer valor de b. Assim, desde que tomemos a=1 (para incompressibilidade), o campo será rotacional independentemente de b.

Passo 11

Resumo e dica prática para prova: calcule primeiro \nabla\cdot\mathbf{V} (incompressibilidade) resolvendo para os parâmetros; depois calcule \nabla\times\mathbf{V} e verifique se é nulo ou não. Aqui o passo crítico foi resolver 2-2a=0 e notar que o rotacional resultante tem componente -6 que garante ser não nulo.

Resposta

a=1
b\in\mathbb{R}

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