Questão 3.4 Determine, se for possível, os valores de a e b para que o perfil de velocidade dado seja incompressível e rotacional:
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
Pede-se determinar, se possível, os valores de
e
para que o perfil de velocidade seja incompressível e rotacional.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componentes do campo:
, , . - Queremos simultaneamente: (i) incompressível (divergência nula) e (ii) rotacional (curl diferente de zero).
Passo 2
O que significa “incompressível” em linguagem matemática? Significa que a divergência do campo é zero:
Aqui cada termo é a derivada parcial da respectiva componente do campo em relação à variável indicada.
Passo 3
Calculemos cada derivada parcial:
Somando:
Impondo incompressibilidade:
Passo 4
Conclusão parcial: para o campo ser incompressível é necessário e suficiente que
. Observe que
não apareceu na condição de divergência, logo
ainda está livre neste passo.
Passo 5
Agora vamos a “rotacional”: em linguagem matemática, o rotacional (curl) é
Explico: cada componente do curl é uma diferença de derivadas parciais das componentes do campo, conforme a fórmula acima.
Passo 6
Calculemos as derivadas necessárias (ainda com
simbólico, depois substituímos
obtido pela divergência):
-
-
Logo a componentedo curl é
Passo 7
Continuando:
-
-
Logo a componentedo curl é
Passo 8
E a componente
:
-
-
Portanto
Passo 9
Juntando, o rotacional geral é
Note que essa expressão não envolve
(ou seja, o parâmetro
não afeta o curl).
Passo 10
Interpretação para a condição “rotacional”: normalmente isso significa que o campo tem rotacional não nulo (ou seja,
). Aqui o terceiro componente do curl é
, constante e diferente de zero, portanto
para qualquer valor de
. Assim, desde que tomemos
(para incompressibilidade), o campo será rotacional independentemente de
.
Passo 11
Resumo e dica prática para prova: calcule primeiro
(incompressibilidade) resolvendo para os parâmetros; depois calcule
e verifique se é nulo ou não. Aqui o passo crítico foi resolver
e notar que o rotacional resultante tem componente
que garante ser não nulo.