Questăo 2. Determinar a declividade que deve ser dada a um canal retangular para atender as seguintes condições de um projeto:
Vazão (Q): 2,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
Profundidade de escoamento ( y ): 0,80 \mathrm{~m}
Largura do fundo (b): 2,0 \mathrm{~m}
Paredes revestidas de concreto bem acabado: n=0,013
[R: 0,000789 \mathrm{~m} / \mathrm{m} ]

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a declividade do canal.
Dados:
Q = 2,0\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
y = 0,80\\ \mathrm{m}
b = 2,0\\ \mathrm{m}
n = 0,013 (coeficiente de Manning)
Pedido:
Determinar a declividade S (em \mathrm{m}/\mathrm{m}) necessária para que o canal transporte a vazão indicada com a profundidade dada.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Manning, que relaciona vazão, geometria do escoamento, rugosidade e declividade:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Explicando cada termo:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2).
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R = \dfrac{A}{P}, onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}).
  • S é a declividade do canal ( \mathrm{m}/\mathrm{m}) — o que queremos encontrar.

Passo 3

Calcular a geometria da seção retangular.
Área da seção:
A = b\cdot y = 2,0 \cdot 0,80 = 1,6\\ \mathrm{m}^2.
Perímetro molhado:
P = b + 2y = 2,0 + 2\cdot 0,80 = 2,0 + 1,6 = 3,6\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico:
R = \frac{A}{P} = \frac{1,6}{3,6} = 0,444444\ldots\\ \mathrm{m}.
Para cálculos exatos podemos usar R = \dfrac{4}{9} ( =0,444\ldots).

Passo 4

Isolar S na equação de Manning. Partimos de
Q = \frac{1}{n}A R^{2/3} S^{1/2}.
Multiplicando ambos os lados por n e dividindo por A R^{2/3},
S^{1/2} = \frac{Q n}{A R^{2/3}}.
Elevando ao quadrado para obter S,
\boxed{S = \left(\frac{Q n}{A R^{2/3}}\right)^{2}.}

Passo 5

Calcular R^{2/3}. Usando R = \dfrac{4}{9},
R^{2/3} = \left(\frac{4}{9}\right)^{2/3}.
Uma forma prática é extrair a raiz cúbica e depois elevar ao quadrado:
R^{1/3} \approx 0,7627\quad\Rightarrow\quad R^{2/3} = (R^{1/3})^2 \approx 0,7627^2 \approx 0,5820.
Usaremos R^{2/3} \approx 0,5820.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula de S.
Calcular o numerador:
Q n = 2,0 \cdot 0,013 = 0,026.
Calcular o denominador:
A R^{2/3} = 1,6 \cdot 0,5820 \approx 0,9312.
Razão:
\frac{Q n}{A R^{2/3}} \approx \frac{0,026}{0,9312} \approx 0,02793.
Agora elevar ao quadrado para obter S:
S \approx (0,02793)^2 \approx 0,0007809\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.

Passo 7

Arredondando com dígitos significativos razoáveis para projeto, obtemos
S \approx 0,00079\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.
Esse valor significa que a cada metro horizontal o desnível é aproximadamente 0,00079\\ \mathrm{m} (ou 0,79\\ \mathrm{mm}).

Resposta

S = 0,00079\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}

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