Questão 4. Determinar as equações paramétricas da reta que passa por
A(1,-4,7) e é paralela à reta s:\left\{\begin{array}{l}x=200-t \\\ y=\sqrt{3}+3 t \\\ z=0\end{array}, t \in \mathbb{R} ;\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1,-4,7) e é paralela à reta
s:\quad x=200 - t,\quad y=\sqrt{3}+3\,t,\quad z=0,
com t\in\mathbb{R}.
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Para definir uma reta em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica, precisamos de um ponto por onde ela passa e de um vetor diretor.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de s observando os coeficientes de t:
x=200 - t\;\Rightarrow\;-1,\quad y=\sqrt{3}+3t\;\Rightarrow\;3,\quad z=0\;\Rightarrow\;0.
Logo, um vetor diretor de s (e, portanto, da reta que buscamos) é
\mathbf{v}=(-1,3,0).

Passo 3

Agora usamos o ponto A(1,-4,7) e o vetor diretor \mathbf{v}=(-1,3,0). Se chamarmos o parâmetro da nova reta de \lambda, as equações paramétricas são:
x = 1 - \lambda,\quad y = -4 + 3\,\lambda,\quad z = 7 + 0\cdot\lambda,
ou de forma mais enxuta:
x = 1 - \lambda,\quad y = -4 + 3\lambda,\quad z = 7.

Resposta

\boxed{x = 1 - \lambda,\quad y = -4 + 3\lambda,\quad z = 7,\quad \lambda\in\mathbb{R}.}

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