Questão 10. Determine um vetor normal ao plano:
\alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1+t+h \\\ y=1-t+2 h \\\ z=h\end{array}, h, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá o plano em forma paramétrica
\alpha:\begin{cases} x = 1 + t + h,\\\ y = 1 - t + 2h,\\\ z = h, \end{cases} \quad t,h \in \mathbb{R},
e pede um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos usar a ideia de que um vetor normal é perpendicular a dois vetores diretores do plano, que obtemos derivando a parametrização em relação a t e a h.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores:
Derivando em relação a t:
v_t = \frac{\partial}{\partial t}(1+t+h,\;1-t+2h,\;h) = (1,\,-1,\,0).
Derivando em relação a h:
v_h = \frac{\partial}{\partial h}(1+t+h,\;1-t+2h,\;h) = (1,\,2,\,1).

Passo 3

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial de v_t com v_h:
n = v_t \times v_h = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\,\mathbf{i} \;-\;(1)\,\mathbf{j}\;+\;(3)\,\mathbf{k} = (-1,\,-1,\,3).

Passo 4

Qualquer múltiplo escalar de (-1,-1,3) também é um vetor normal ao plano, mas podemos ficar com
n = (-1,\,-1,\,3).

Resposta

(-1,\,-1,\,3) é um vetor normal ao plano dado.

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