Questão 2. Determinar, usando o método de Newton-Raphson, uma aproximaçio para o zero da funçio
com erro inferior
no intervalo
com aproximaçio inicial
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para obter uma aproximação do zero da função
no intervalo
, começando em
, de modo que o erro seja inferior a
.
Dados relevantes fornecidos:
Dados relevantes fornecidos:
Passo 2
O que é o método de Newton–Raphson e a fórmula de iteração (aulas rápidas e gentis):
- Newton–Raphson é um método iterativo para encontrar raízes de uma função
. A cada passo usamos a reta tangente à curva em para obter . - A fórmula de iteração é
Aqui
é a derivada de
, que indica a inclinação da reta tangente em
. Na prática calculamos
e
e aplicamos a fórmula para obter a próxima aproximação.
Passo 3
Calcular a derivada e verificar comportamento em
:
- Derivada de
:
- Observação importante para convergência: em
temos , logo . Isso significa que a derivada não se anula nem fica pequena nesse intervalo, o que é favorável para o Newton (evita divisões por zero e garante comportamento estável). Podemos, para controlar erro, usar o critério prático de parada (criterião comum em provas), ou verificar o resíduo . Aqui usarei .
Passo 4
Iteração
: calcular
a partir de
.
- Primeiro calcule
e :
- Aplicando a fórmula:
Verificação do salto:
, logo ainda não paramos.
Passo 5
Iteração
: calcular
a partir de
.
- Calcular
, e . Usando aproximação (expansão/avaliação numérica):
- Aplicando Newton:
Verificação do salto:
, portanto ainda não paramos. Note que já estamos bem próximos da raiz real (o método está convergindo rápido).
Passo 6
Iteração
: calcular
a partir de
.
- Calcular
, e por aproximação:
- Aplicando Newton:
Agora verificação do salto:
Portanto o critério escolhido
é satisfeito em
, e podemos parar com garantia prática de erro menor que
.
Passo 7
Comentário final sobre a precisão: a sequência convergiu rapidamente. A partir de
temos uma aproximação cujo desvio entre iterações já é
, muito menor que
. Isso indica que a aproximação
já está bem dentro da tolerância requerida. Se quisermos, poderíamos calcular
e ver que
é da ordem de
(erro residual muito pequeno), confirmando a qualidade da aproximação.