Questão 1. Determinar, usando o Teste da Integral, se as séries são convergentes ou divergentes, e se forem convergentes, determine o limite. Para praticar no Khan Academy façam Teste da integral para a convergência.
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Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral em duas séries infinitas e decidir se cada uma converge ou diverge. Se convergir, queremos também o valor da soma (limite dos somatórios). O conteúdo é séries de termos positivos (ou que podem ser comparadas com funções positivas) e o Teste da Integral associado a p-séries.
Passo 2
Analisamos a série
Definimos a função contínua, positiva e decrescente em
:
Aplicamos o Teste da Integral, estudando
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Como
, o termo
tende a
quando
. Logo a integral diverge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
diverge, a série
também diverge. Portanto a série
é divergente.
Passo 5
Agora a série
tem termo geral
Como para
cada parcela define duas p-séries distintas, podemos tratar cada uma separadamente.
Passo 6
Considere as duas séries
Ambas são p-séries com expoentes
e
, ambos maiores que 1. Logo cada uma converge. Pela linearidade, a diferença também converge. Assim
converge.
Passo 7
Para obter o valor da soma, usamos a função zeta de Riemann:
Então
e a série original vale
Resposta
(1) A série
diverge.
(2) A série converge e seu valor é
(2) A série