Questão 1. Determinar, usando o Teste da Integral, se as séries são convergentes ou divergentes, e se forem convergentes, determine o limite. Para praticar no Khan Academy façam Teste da integral para a convergência.
  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{0,85}}
  2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5-2 \sqrt{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral em duas séries infinitas e decidir se cada uma converge ou diverge. Se convergir, queremos também o valor da soma (limite dos somatórios). O conteúdo é séries de termos positivos (ou que podem ser comparadas com funções positivas) e o Teste da Integral associado a p-séries.

Passo 2

Analisamos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{0,85}}.
Definimos a função contínua, positiva e decrescente em [1,\infty):
f(x)=2\,x^{-0,85}.
Aplicamos o Teste da Integral, estudando
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{1}^{\infty}2\,x^{-0,85}\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}2\,x^{-0,85}\,dx =2\int_{1}^{\infty}x^{-0,85}\,dx =2\left[\frac{x^{\,1-0,85}}{1-0,85}\right]_{1}^{\infty} =2\left[\frac{x^{0,15}}{0,15}\right]_{1}^{\infty}.
Como 0,15>0, o termo x^{0,15} tende a \infty quando x\to\infty. Logo a integral diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
diverge, a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também diverge. Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{0,85}}
é divergente.

Passo 5

Agora a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5-2\sqrt{n}}{n^{3}}
tem termo geral
a_n=\frac{5-2\sqrt{n}}{n^{3}} =\frac{5}{n^{3}}-\frac{2\,\sqrt{n}}{n^{3}} =\frac{5}{n^{3}}-\frac{2}{n^{5/2}}.
Como para n\ge1 cada parcela define duas p-séries distintas, podemos tratar cada uma separadamente.

Passo 6

Considere as duas séries
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{3}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{5/2}}.
Ambas são p-séries com expoentes p=3 e p=5/2, ambos maiores que 1. Logo cada uma converge. Pela linearidade, a diferença também converge. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{5}{n^{3}}-\frac{2}{n^{5/2}}\biggr)
converge.

Passo 7

Para obter o valor da soma, usamos a função zeta de Riemann:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\zeta(s).
Então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n^{3}} =5\,\zeta(3), \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{5/2}} =2\,\zeta\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr),
e a série original vale
5\,\zeta(3)\;-\;2\,\zeta\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr).

Resposta

(1) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{0,85}} diverge.
(2) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5-2\sqrt{n}}{n^{3}} converge e seu valor é
5\,\zeta(3)\;-\;2\,\zeta\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr).

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