Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar sua convergência. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e comparação assintótica usando o desenvolvimento de Taylor para funções em torno de zero.
e pede para determinar sua convergência. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e comparação assintótica usando o desenvolvimento de Taylor para funções em torno de zero.
Passo 2
Para
grande, temos
, e o seno admite o desenvolvimento de Taylor
Substituindo
,
Logo, para
grande,
comporta-se como
.
Passo 3
Aplicamos o teste de comparação pelo quociente. Compute-se
Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
é divergente. Portanto, pela comparação, também diverge.
é divergente. Portanto, pela comparação,
Resposta
A série diverge.