\sum_{n=2}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e pede para determinar sua convergência. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e comparação assintótica usando o desenvolvimento de Taylor para funções em torno de zero.

Passo 2

Para n grande, temos x=1/n\to0, e o seno admite o desenvolvimento de Taylor
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
Substituindo x=1/n,
\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{1}{n} - \frac{1}{6\,n^3} + O\bigl(\tfrac{1}{n^5}\bigr).
Logo, para n grande, \sin(1/n) comporta-se como \tfrac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação pelo quociente. Compute-se
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1.
Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries \sum\sin(1/n) e \sum\frac{1}{n} têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}
é divergente. Portanto, pela comparação, \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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