9^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral 2 r d r(1-r)^7

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a antiderivada
integral 2r(1-r)^7,dr
O conteúdo aqui é integração de função racional por substituição. Vamos usar a mudança de variável u=1-r.

Passo 2

Com u=1-r temos
du=-dr, r=1-u
Substituindo na integral:
integral 2r(1-r)^7,dr =integral 2(1-u)u^7,(-du) =-2integrall(u^-7-u^-6r),du

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
-2integral u^-7,du + 2integral u^-6,du =-2l(u^-6-6r)+2l(u^-5-5r) =26u^-6-25u^-5

Passo 4

Voltando à variável r com u=1-r, obtemos a antiderivada geral
13(1-r)^-6-25(1-r)^-5+C

Passo 5

Verificação: derivando a resposta
ddrl[tfrac13(1-r)^-6r] =2(1-r)^-7, ddrl[-tfrac25(1-r)^-5r] =-2(1-r)^-6
Somando:
2(1-r)^-7-2(1-r)^-6 =2-2(1-r)(1-r)^7 =2r(1-r)^7,
que coincide com o integrando original.

Resposta

13(1-r)^-6-25(1-r)^-5+C

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