Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
r16 x1+4 x2+8 x3+4 x4=32 4 x1+10 x2+8 x3+4 x4=26 8 x1+8 x2+12 x3+10 x4=38 4 x1+4 x2+10 x3+12 x4=30

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
16x1+4x2+8x3+4x4=32, 4x1+10x2+8x3+4x4=26, 8x1+8x2+12x3+10x4=38, 4x1+4x2+10x3+12x4=30,
onde a matriz dos coeficientes
A= 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12
é simétrica e definida positiva. Vamos usar a fatoração de Cholesky A=LL^T e depois resolver dois sistemas triangulares para encontrar x.

Passo 2

Construímos L triangular inferior por
L= ell11&0&0&0 ell21&ell22&0&0 ell31&ell32&ell33&0 ell41&ell42&ell43&ell44 ,
onde
ell11=raiz16=4, ell21=44=1, ell31=84=2, ell41=44=1
Depois
ell22=raiz10-1^2=3, ell32=8-2cdot13=2, ell42=4-1cdot13=1,
e
ell33=raiz12-2^2-2^2=2, ell43=10-1cdot2-1cdot22=3,
por fim
ell44=raiz12-1^2-1^2-3^2=1
Logo
L= 4&0&0&0 1&3&0&0 2&2&2&0 1&1&3&1

Passo 3

Resolvemos o sistema triangular L, y= b com b=(32,26,38,30)^T por substituição à frente:
y1=324=8, y2=26-1cdot83=6, y3=38-2cdot8-2cdot62=5, y4=30-1cdot8-1cdot6-3cdot51=1

Passo 4

Em seguida resolvemos L^T x= y por substituição para trás:
x4=11=1, x3=5-3cdot12=1, x2=6-2cdot1-1cdot13=1, x1=8-1cdot1-2cdot1-1cdot14=1

Passo 5

A solução do sistema é x=(1,1,1,1)^T.

Resposta

x1=1, x2=1, x3=1, x4=1

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