Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathrm{P}_{2}\left(\mathbb{R}^{\square}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a-b, 2 b, a-c).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:\mathrm{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3},\quad T(a x^{2}+b x+c)=(a-b,\;2b,\;a-c),
e pede a base e dimensão de \mathrm{Im}(T) e de \ker(T), além de verificar se T é injetiva e sobrejetiva. Vamos usar coordenadas na base canônica \{x^2,x,1\}.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores da base de \mathrm{P}_{2}(\mathbb{R}):
T(x^2)=T(1\cdot x^2+0\cdot x+0)=(1-0,\;0,\;1-0)=(1,0,1),
T(x)=T(0\cdot x^2+1\cdot x+0)=(0-1,\;2\cdot1,\;0-0)=(-1,2,0),
T(1)=T(0\cdot x^2+0\cdot x+1)=(0-0,\;0,\;0-1)=(0,0,-1).

Passo 3

Para ver \mathrm{Im}(T), consideramos os vetores
(1,0,1),\;(-1,2,0),\;(0,0,-1).
O determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é
\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} =-2\neq0,
logo eles são LI e formam base de \mathbb{R}^3. Assim
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{3},\quad \dim(\mathrm{Im}(T))=3.

Passo 4

Para \ker(T)\) resolvemos \[T(a x^2+bx+c)=(0,0,0)\;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} a-b=0,\\\\ 2b=0,\\\ a-c=0. \end{cases}
Da segunda equação b=0\], da primeira \(a=0, e da terceira c=a=0. Logo
\ker(T)=\{0\} e \dim(\ker(T))=0.

Passo 5

Como \dim(\ker(T))=0 temos que T é injetiva. Como \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3 e o contradomínio é \mathbb{R}^3, T é sobrejetiva.

Resposta

Base de \mathrm{Im}(T): \{(1,0,1),\,(-1,2,0),\,(0,0,-1)\}.
\dim(\mathrm{Im}(T))=3.
Base de \ker(T): \varnothing.
\dim(\ker(T))=0.
T é injetiva e sobrejetiva.

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