Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x, 2 y, x-y+2 z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = (\,x,\;2y,\;x - y + 2z\,)
e pede a base e dimensão de \mathrm{Im}(T) e de \ker(T), além de verificar se T é injetiva e sobrejetiva. Vamos representá-la pela sua matriz na base canônica e usar posto e espaço nulo.

Passo 2

Na base canônica de \mathbb{R}^3, os vetores e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) têm imagens
T(e_1) = (1,0,1),\quad T(e_2) = (0,2,-1),\quad T(e_3) = (0,0,2).
A matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix},
cujas colunas geram \mathrm{Im}(T).

Passo 3

Para o posto de A, calculamos o determinante:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ -1&2\end{pmatrix} =1\,(2\cdot2 - 0\cdot(-1)) =4\neq0.
Logo \mathrm{rank}(A)=3. Assim
\dim(\mathrm{Im}(T)) = 3,
e uma base de \mathrm{Im}(T) é, por exemplo, o conjunto das colunas:
\{(1,0,1),\;(0,2,-1),\;(0,0,2)\}.

Passo 4

Para \ker(T)\), resolvemos \(T(x,y,z)=(0,0,0)\), isto é o sistema \[\begin{cases} x = 0,\\\\ 2y = 0,\\\ x - y + 2z = 0. \end{cases}
Daqui vem x=0\], \(y=0 e então 2z=0\implies z=0. Logo
\ker(T) = \{(0,0,0)\},
\dim(\ker(T))=0 e a única base possível é a base vazia.

Passo 5

Como \dim(\ker(T))=0, a transformação é injetiva (só o vetor zero vai para zero). Como \dim(\mathrm{Im}(T))=3, que é igual à dimensão do contradomínio, \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetiva.

Resposta

Base de \mathrm{Im}(T): \{(1,0,1),\,(0,2,-1),\,(0,0,2)\}.
\dim(\mathrm{Im}(T))=3.
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
\dim(\ker(T))=0.
T é injetiva e sobrejetiva.

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