Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
\left. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2}\left(\mathbb{R}^{\square}\right)\right) tal que T(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x & x+2 y \\\\ 0 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to M_2(\mathbb{R}) por
T(x,y)=\begin{pmatrix}x & x+2y\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Queremos achar uma base e a dimensão de \operatorname{Im}(T) e de \ker(T), e então verificar injetividade e sobrejetividade.]

Passo 2

Para encontrar \operatorname{Im}(T), note que todo vetor (x,y) gera a matriz
\begin{pmatrix}x & x+2y\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Logo
\operatorname{Im}(T) = \Span\Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 3

As duas matrizes acima são linearmente independentes, pois não há escalares a,b tais que
a\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
com (a,b)\neq(0,0). Portanto
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=2.

Passo 4

Para achar \ker(T)\), resolvemos \[T(x,y)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x=0,\\\ x+2y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo na segunda, obtém-se \(2y=0, logo y=0. Assim
\ker(T)=\{(0,0)\},
que é o subespaço trivial. Logo
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=0.

Passo 5

Uma transformação linear é injetiva se, e só se, seu núcleo for \{0\}. Como \ker(T)=\{(0,0)\}, T é injetiva.
Para ser sobrejetiva precisaríamos \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim\bigl(M_2(\mathbb{R})\bigr)=4, mas \dim(\operatorname{Im}(T))=2<4. Logo T não é sobrejetiva.

Resposta

Base de \operatorname{Im}(T):
\Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\Bigr\}.
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.
Base de \ker(T): \varnothing.
\dim(\ker(T))=0. T é injetiva e não é sobrejetiva.

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