Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva: \left. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2}\left(\mathbb{R}^{\square}\right)\right) tal que T(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x & x+2 y \\\\ 0 & 0\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \to M_2(\mathbb{R}) por
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo na segunda, obtém-se \(2y=0, logo y=0. Assim
\ker(T)=\{(0,0)\},
que é o subespaço trivial. Logo
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=0.
Passo 5
Uma transformação linear é injetiva se, e só se, seu núcleo for \{0\}. Como \ker(T)=\{(0,0)\}, T é injetiva.
Para ser sobrejetiva precisaríamos \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim\bigl(M_2(\mathbb{R})\bigr)=4, mas \dim(\operatorname{Im}(T))=2<4. Logo T não é sobrejetiva.