Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Informações relevantes:
- A sequência está definida para
(assumimos ). - Para todo
o termo dentro do parêntese é , logo .
O objetivo é decidir o comportamento dequando e, se convergir, obter o valor limite.
Passo 2
Estratégia: é conveniente estudar o logaritmo natural dos termos, porque a potência
fica multiplicando o logaritmo e isso simplifica o limite. Defino
Como a função
é contínua e bijetora entre
e
, se conseguirmos
então
. Além disso, como
,
está bem definido.
Passo 3
Calculo
:
Faço a substituição auxiliar
. Então
quando
, e
Como
, reescrevo
de forma útil:
Passo 4
Preciso do limite
Vou provar que esse limite é
por um argumento elementar (sem usar derivadas): para
e para todo
em
vale
Integrando em
de
a
obtemos
As integrais dão
Dividindo por
,
Agora fazemos
. O lado esquerdo tende a
e o lado direito é constante
. Pelo princípio do sanduíche (teorema do aperto),
Passo 5
Voltando para
, como
temos
Como
converge para
e a função
é contínua, concluímos
Passo 6
Observação prática e generalização: esse cálculo mostra o resultado geral conhecido
para qualquer constante real
. No nosso caso
. Valor aproximado para referência:
. Força aí — a técnica de passar pelo logaritmo é a mais usada em provas quando aparece termo do tipo
.