Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Informações relevantes:
  • A sequência está definida para n\in\mathbb{N} (assumimos n\ge 1).
  • Para todo n\ge 1 o termo dentro do parêntese é 1+\dfrac{3}{n}>1, logo a_n>0.
    O objetivo é decidir o comportamento de a_n quando n\to\infty e, se convergir, obter o valor limite.

Passo 2

Estratégia: é conveniente estudar o logaritmo natural dos termos, porque a potência n fica multiplicando o logaritmo e isso simplifica o limite. Defino
b_n=\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}\right).
Como a função \exp é contínua e bijetora entre \mathbb{R} e (0,\infty), se conseguirmos \lim_{n\to\infty} b_n=L então \lim_{n\to\infty} a_n=\exp(L). Além disso, como a_n>0, \ln(a_n) está bem definido.

Passo 3

Calculo b_n:
b_n = n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
Faço a substituição auxiliar t_n=\dfrac{3}{n}. Então t_n\to 0^+ quando n\to\infty, e
b_n = n\ln(1+t_n).
Como n t_n = n\cdot\dfrac{3}{n}=3, reescrevo b_n de forma útil:
b_n = (n t_n)\cdot \frac{\ln(1+t_n)}{t_n} = 3\cdot \frac{\ln(1+t_n)}{t_n}.

Passo 4

Preciso do limite
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Vou provar que esse limite é 1 por um argumento elementar (sem usar derivadas): para t>0 e para todo u em [0,t] vale
\frac{1}{1+t}\le \frac{1}{1+u}\le 1.
Integrando em u de 0 a t obtemos
\int_{0}^{t}\frac{1}{1+t}\,du \le \int_{0}^{t}\frac{1}{1+u}\,du \le \int_{0}^{t}1\,du.
As integrais dão
\frac{t}{1+t}\le \ln(1+t)\le t.
Dividindo por t>0,
\frac{1}{1+t}\le \frac{\ln(1+t)}{t}\le 1.
Agora fazemos t\to 0^+. O lado esquerdo tende a 1 e o lado direito é constante 1. Pelo princípio do sanduíche (teorema do aperto),
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 5

Voltando para b_n, como t_n\to 0^+ temos
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} 3\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n} = 3\cdot 1 = 3.
Como b_n=\ln(a_n) converge para 3 e a função \exp é contínua, concluímos
\lim_{n\to\infty} a_n = \exp\!\left(\lim_{n\to\infty} b_n\right)=\mathrm{e}^{3}.

Passo 6

Observação prática e generalização: esse cálculo mostra o resultado geral conhecido
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{c}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{c}
para qualquer constante real c. No nosso caso c=3. Valor aproximado para referência: \mathrm{e}^{3}\approx 20{,}085. Força aí — a técnica de passar pelo logaritmo é a mais usada em provas quando aparece termo do tipo (1+\text{const}/n)^n.

Resposta

\mathrm{e}^{3}

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