Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
(a_{n}=n
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right))

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=n\;\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\, e pede para determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o limite \lim_{n\to\infty} a_n e justificar cada passo.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão geral da sequência é \,a_{n}=n\;\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\,.
  • O índice n tende para +\infty quando procuramos o limite de sequência.

Passo 2

Idéia útil (troca de variável): definir uma variável real \,x relacionada a n por
x=\frac{\pi}{n}.
Quando n\to\infty temos \,x\to0^+. Reescrevendo a_n em termos de x:
n=\frac{\pi}{x}\quad\text{e portanto}\quad a_n=n\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{\pi}{x}\sin(x)=\pi\cdot\frac{\sin x}{x}.
Assim, o problema de encontrar \lim_{n\to\infty}a_n se transforma em encontrar
\lim_{x\to0^+}\pi\cdot\frac{\sin x}{x}.

Passo 3

Agora precisamos do resultado clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vou justificar esse fato de forma elementar usando uma desigualdade trigonométrica e o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem).
Para x no intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica conhecida
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Explicando por que essa desigualdade é verdadeira (esboço geométrico simples):
  • Em um círculo unitário, comparando áreas e segmentos, obtém-se as desigualdades \sin x < x < \tan x para 0<x<\tfrac{\pi}{2}.
  • Dividindo essa cadeia por x e reorganizando, chega-se a \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1.
Como \lim_{x\to0}\cos x = 1, pela desigualdade acima e pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 4

Voltando à nossa expressão em x, usando a continuidade da multiplicação por constante e o limite obtido,
\lim_{x\to0^+}\pi\cdot\frac{\sin x}{x}=\pi\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=\pi\cdot 1=\pi.
Como a transformação x=\dfrac{\pi}{n} relaciona x\to0^+ com n\to\infty, isso mostra que
\lim_{n\to\infty} a_n = \pi.

Passo 5

Interpretação final e incentivo: a sequência \,a_{n}=n\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\, converge, e seu limite é \pi. Esse tipo de manipulação (substituir \dfrac{\pi}{n} por uma variável que tende a zero e usar \dfrac{\sin x}{x}\to1) é um truque muito útil em provas e nas provas de limites envolvendo senos. Vai dar certo na prova — respira fundo, você consegue!

Resposta

\pi

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