Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
(a_{n}=n
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right))
(a_{n}=n
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o limite
e justificar cada passo.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A expressão geral da sequência é
. - O índice
tende para quando procuramos o limite de sequência.
Passo 2
Idéia útil (troca de variável): definir uma variável real
relacionada a
por
Quando
temos
. Reescrevendo
em termos de
:
Assim, o problema de encontrar
se transforma em encontrar
Passo 3
Agora precisamos do resultado clássico
Vou justificar esse fato de forma elementar usando uma desigualdade trigonométrica e o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem).
Para
no intervalo
vale a desigualdade geométrica conhecida
Explicando por que essa desigualdade é verdadeira (esboço geométrico simples):
- Em um círculo unitário, comparando áreas e segmentos, obtém-se as desigualdades
para . - Dividindo essa cadeia por
e reorganizando, chega-se a .
Como
, pela desigualdade acima e pelo Teorema do Aperto segue que
Passo 4
Voltando à nossa expressão em
, usando a continuidade da multiplicação por constante e o limite obtido,
Como a transformação
relaciona
com
, isso mostra que
Passo 5
Interpretação final e incentivo: a sequência
converge, e seu limite é
. Esse tipo de manipulação (substituir
por uma variável que tende a zero e usar
) é um truque muito útil em provas e nas provas de limites envolvendo senos. Vai dar certo na prova — respira fundo, você consegue!