Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge ou diverge quando
. Se convergir, encontrar o limite. Dados importantes:
é um inteiro positivo que cresce sem limite.
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica de fatoriais: para qualquer inteiro
vale
Aplicando isso ao numerador
e reconhecendo o denominador
, podemos simplificar a razão. Escrevendo explicitamente:
Substituindo na sequência obtemos
Passo 3
Cancelei
no numerador e denominador. Logo
Agora simplifico o produto como um polinômio em
. Multiplicando termo a termo:
Passo 4
Para estudar o limite quando
, observo que
é um polinômio de grau
com coeficiente líder
. Intuitivamente, polinômios de grau ≥1 vão para
quando
. Para dar um argumento simples e formal: para todo
escolho
tal que
(por exemplo,
). Então, para todo
,
portanto
quando
. Isso significa que a sequência não converge para um número finito, ela diverge para
.
Passo 5
Resumo final e observação prática: após simplificar o quociente de fatoriais obteve-se um polinômio que cresce sem limite. Logo a sequência diverge; não há limite finito.