Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\frac{(2 n+3)!}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n}=\frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}
converge ou diverge quando n\to\infty. Se convergir, encontrar o limite. Dados importantes: n é um inteiro positivo que cresce sem limite.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica de fatoriais: para qualquer inteiro m\ge1 vale
m! = m\cdot (m-1)!.
Aplicando isso ao numerador (2n+3)! e reconhecendo o denominador (2n+1)!, podemos simplificar a razão. Escrevendo explicitamente:
(2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)!.
Substituindo na sequência obtemos
a_{n}=\frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(2n+1)!}.

Passo 3

Cancelei (2n+1)! no numerador e denominador. Logo
a_{n}=(2n+3)(2n+2).
Agora simplifico o produto como um polinômio em n. Multiplicando termo a termo:
(2n+3)(2n+2)=4n^2+10n+6.

Passo 4

Para estudar o limite quando n\to\infty, observo que 4n^2+10n+6 é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder 4>0. Intuitivamente, polinômios de grau ≥1 vão para +\infty quando n\to\infty. Para dar um argumento simples e formal: para todo M>0 escolho N tal que 4N^2>M (por exemplo, N>\sqrt{M/4}). Então, para todo n\ge N,
a_{n}=4n^2+10n+6\ge 4n^2 > M,
portanto a_{n}\to +\infty quando n\to\infty. Isso significa que a sequência não converge para um número finito, ela diverge para +\infty.

Passo 5

Resumo final e observação prática: após simplificar o quociente de fatoriais obteve-se um polinômio que cresce sem limite. Logo a sequência diverge; não há limite finito.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty (a sequência diverge para +\infty).

Exercícios relacionados