Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo: a_{n}=\frac{\operatorname{sen}\left(n^{2}\right)}{\left(n^{2}+1\right)}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
Pede: determinar se a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{\operatorname{sen}\!\left(n^{2}\right)}{\left(n^{2}+1\right)} converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
Informação dada: a fórmula geral da sequência para cada n\in\mathbb{N}. Não há outras hipóteses adicionais.
Passo 2
Observação útil sobre a função seno (fato básico que vamos usar).
Para todo número real x vale \displaystyle -1 \le \sin(x) \le 1.
Em particular, para todo n (inteiro positivo) temos \displaystyle -1 \le \sin(n^{2}) \le 1.
Este fato é óbvio se lembrar do gráfico do seno: ele sempre fica entre -1 e 1. Nada complicado, só um pedaço de teoria que costuma cair na prova.
Passo 3
Colocar a desigualdade em termos de a_n.
Como n^{2}+1>0 para todo n, podemos dividir a desigualdade do passo anterior por n^{2}+1 sem inverter sinais. Assim obtemos
Agora, para dado \varepsilon>0, escolha N um inteiro tal que
N>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
(Existe tal N porque os inteiros são arbitrariamente grandes.)
Então, para todo n\ge N temos 1/n^{2}<\varepsilon. Assim, pelas desigualdades acima,
|a_n|\le \frac{1}{n^{2}}<\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição \varepsilon-N, logo \lim_{n\to\infty} a_n=0.
Passo 6
Resumo da ideia para a prova/exame (dica prática e motivadora).
Em provas, quando aparecer sequência com \sin(\cdot) ou \cos(\cdot) multiplicado/ dividido por algo que cresce, o caminho padrão é usar que seno e cosseno são limitados em [-1,1] e aplicar o Teorema do Confronto.
Aqui o denominador cresce como n^{2}, muito mais rápido que o numerador que fica entre -1 e 1, então o termo inteiro vai para 0. Você já tem a justificativa completa (incluindo a prova \varepsilon-N) — tá pronta pra prova. Vai com confiança!
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.