Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\frac{\operatorname{sen}\left(n^{2}\right)}{\left(n^{2}+1\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: determinar se a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{\operatorname{sen}\!\left(n^{2}\right)}{\left(n^{2}+1\right)} converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
  • Informação dada: a fórmula geral da sequência para cada n\in\mathbb{N}. Não há outras hipóteses adicionais.

Passo 2

Observação útil sobre a função seno (fato básico que vamos usar).
  • Para todo número real x vale \displaystyle -1 \le \sin(x) \le 1.
  • Em particular, para todo n (inteiro positivo) temos \displaystyle -1 \le \sin(n^{2}) \le 1.
Este fato é óbvio se lembrar do gráfico do seno: ele sempre fica entre -1 e 1. Nada complicado, só um pedaço de teoria que costuma cair na prova.

Passo 3

Colocar a desigualdade em termos de a_n.
  • Como n^{2}+1>0 para todo n, podemos dividir a desigualdade do passo anterior por n^{2}+1 sem inverter sinais. Assim obtemos
-\frac{1}{n^{2}+1}\le \frac{\sin(n^{2})}{n^{2}+1}\le \frac{1}{n^{2}+1}.
  • Ou seja,
-\frac{1}{n^{2}+1}\le a_{n}\le \frac{1}{n^{2}+1}.
Isso é ótimo porque agora sanduíchamos a_n entre duas sequências cujos limites são fáceis de encontrar.

Passo 4

Calcular o limite das sequências que apertam a_n (aplicar o Teorema do Confronto / Squeeze).
  • Observe que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}+1}=0. (Porque n^{2}\to\infty quando n\to\infty, e 1/(\text{algo que vai a }+\infty)\to 0.)
  • Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto): se b_n\le a_n\le c_n para todo n e \lim b_n=\lim c_n=L, então \lim a_n=L.
  • Aplicando com b_n=-\tfrac{1}{n^{2}+1} e c_n=\tfrac{1}{n^{2}+1}, ambos com limite 0, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto a sequência converge e o candidato natural para o limite é 0.

Passo 5

Prova \varepsilon- N (formal, para justificar rigorosamente que \lim a_n=0).
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |a_n-0|<\varepsilon.
  • Começamos com a desigualdade do passo 3:
|a_n|=\left|\frac{\sin(n^{2})}{n^{2}+1}\right|\le \frac{1}{n^{2}+1}\le \frac{1}{n^{2}} \quad\text{para } n\ge 1.
  • Agora, para dado \varepsilon>0, escolha N um inteiro tal que
N>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
(Existe tal N porque os inteiros são arbitrariamente grandes.)
  • Então, para todo n\ge N temos 1/n^{2}<\varepsilon. Assim, pelas desigualdades acima,
|a_n|\le \frac{1}{n^{2}}<\varepsilon.
  • Isso mostra exatamente a condição \varepsilon- N, logo \lim_{n\to\infty} a_n=0.

Passo 6

Resumo da ideia para a prova/exame (dica prática e motivadora).
  • Em provas, quando aparecer sequência com \sin(\cdot) ou \cos(\cdot) multiplicado/ dividido por algo que cresce, o caminho padrão é usar que seno e cosseno são limitados em [-1,1] e aplicar o Teorema do Confronto.
  • Aqui o denominador cresce como n^{2}, muito mais rápido que o numerador que fica entre -1 e 1, então o termo inteiro vai para 0. Você já tem a justificativa completa (incluindo a prova \varepsilon- N) — tá pronta pra prova. Vai com confiança!

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

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