Questão 1. Determine o campo elétrico sobre o eixo z produzido por um anel anular de densidade superficial
, no espaço livre. O anel está localizado no plano
em
, com raio interno a e raio externo
. A partir desse resultado, tomando os limites apropriados, demonstre que o campo elétrico de uma placa infinita é dado por:
Passo 1
O enunciado dá um anel anular (um disco com furo) localizado no plano
em
, com raio interno
e raio externo
. A densidade superficial de carga é constante e igual a
(usar
como
). Pede-se:
- Determinar o campo elétrico sobre o eixo
(isto é, no ponto ) devido a essa distribuição. - A partir desse resultado, tomar os limites apropriados para obter o campo elétrico de uma placa infinita carregada, mostrando que
Informações relevantes dadas: o anel anular está no plano
, tem densidade superficial constante
, e a região ocupada é
em coordenadas polares no plano. Espaço livre implica constante dielétrica
. A resolução seguirá integrando a contribuição de cada elemento de área.
Passo 2
Fórmula básica (Coulomb para distribuição de superfície). Para uma superfície com densidade
(carga por unidade de área), o campo diferencial produzido por um elemento de área
no ponto de observação é
onde:
-
é o vetor posição do ponto onde queremos o campo (aqui ); -
é o vetor posição do elemento de carga na superfície (aqui ); -
é a área do elemento (em coordenadas polares ); -
é a carga do elemento; é a constante de Coulomb no vácuo.
Vou explicar cada peça: a fração
dá a direção (vetor unitário) e a dependência com a distância (decai como
em magnitude, já que
vem do denominador e o vetor dá mais um fator de
em direção). Para integrar sobre toda a superfície, somamos (integramos) as contribuições de todos os
.
Passo 3
Escolha de coordenadas e geometria do elemento. Pegamos coordenadas cilíndricas/polares para a placa:
- ponto de observação
em ; - ponto de fonte
, com e ; - vetor separação
A magnitude é
O elemento de área é
. A carga no elemento é
.
Passo 4
Componentes do campo e uso da simetria. Substituindo em Coulomb:
Pelo enunciado queremos o campo sobre o eixo
. Pela simetria circular, as componentes horizontais (
) se cancelam quando integramos
de
a
(as funções
e
têm média zero). Portanto sobra apenas a componente
. Tomando somente a componente
e integrando em
obtemos para um anel de raio
e espessura
(ou seja, integrando
primeiro):
a integral em
dá
, então
Isso é o campo na direção
devido ao anel fino entre
e
. O vetor campo correspondente é
, onde
é a direção positiva do eixo
(conforme notação do enunciado).
Passo 5
Integração radial para todo o anel anular. Agora integramos
de
até
:
Fatoramos constantes:
Para calcular a integral, fazemos a substituição
. Então
, ou
. Os limites transformam-se para
e
. Assim
A integral de
é
, logo
Isso dá
Substituindo de volta em
:
Portanto o campo no eixo é
Observação sobre o sinal: se
o fator
é positivo e o campo aponta para
; se
ele aponta para
(esperado fisicamente).
Passo 6
Limite para a placa infinita. Uma placa infinita de densidade superficial
pode ser vista como o caso
e
com
. Tomamos esses limites na expressão encontrada:
- Primeiro coloque
. O primeiro termo fica . - Para
, .
Assim
Como
para
e
para
, obtemos o resultado habitual: para a região acima da placa (
)
e para
o mesmo em sentido oposto. Isso coincide com a expressão pedida. (Fisicamente, o campo de uma placa infinita é independente de
e tem magnitude
; seu sentido é sempre apontando para fora da placa se a carga for positiva.)
Passo 7
Breve reforço (intuição pelo Teorema de Gauss). Para fixar a intuição: com uma placa infinita, o campo não pode depender de
por simetria e deve ser perpendicular à placa. Pegue uma caixa cilíndrica (pillbox) atravessando a placa; aplicando o teorema de Gauss obtemos
, de onde
. Isso confirma o limite que calculamos integrando a distribuição.