Questão 1. Determine o campo elétrico sobre o eixo z produzido por um anel anular de densidade superficial p, no espaço livre. O anel está localizado no plano x y em z=0, com raio interno a e raio externo b. A partir desse resultado, tomando os limites apropriados, demonstre que o campo elétrico de uma placa infinita é dado por:
\mathbf{E}=\frac{p_{0}}{2 \epsilon_{0}} \mathbf{a}_{2}

Passo 1

O enunciado dá um anel anular (um disco com furo) localizado no plano xy em z=0, com raio interno a e raio externo b. A densidade superficial de carga é constante e igual a p (usar p como \sigma). Pede-se:
  1. Determinar o campo elétrico sobre o eixo z (isto é, no ponto (0,0,z)) devido a essa distribuição.
  2. A partir desse resultado, tomar os limites apropriados para obter o campo elétrico de uma placa infinita carregada, mostrando que
\mathbf{E}=\frac{p_{0}}{2\epsilon_{0}}\,\mathbf{a}_{2}.
Informações relevantes dadas: o anel anular está no plano z=0, tem densidade superficial constante p, e a região ocupada é a\le \rho \le b em coordenadas polares no plano. Espaço livre implica constante dielétrica \epsilon_{0}. A resolução seguirá integrando a contribuição de cada elemento de área.

Passo 2

Fórmula básica (Coulomb para distribuição de superfície). Para uma superfície com densidade p (carga por unidade de área), o campo diferencial produzido por um elemento de área dA no ponto de observação é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{p\,dA\;(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}},
onde:
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde queremos o campo (aqui (0,0,z));
  • \mathbf{r}' é o vetor posição do elemento de carga na superfície (aqui (\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,0));
  • dA é a área do elemento (em coordenadas polares dA=\rho\,d\rho\,d\varphi);
  • p\,dA é a carga do elemento; 1/(4\pi\epsilon_0) é a constante de Coulomb no vácuo.
Vou explicar cada peça: a fração \dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}} dá a direção (vetor unitário) e a dependência com a distância (decai como 1/R^2 em magnitude, já que |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{-2} vem do denominador e o vetor dá mais um fator de 1 em direção). Para integrar sobre toda a superfície, somamos (integramos) as contribuições de todos os dA.

Passo 3

Escolha de coordenadas e geometria do elemento. Pegamos coordenadas cilíndricas/polares para a placa:
  • ponto de observação P em (0,0,z);
  • ponto de fonte \mathbf{r}'=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,0), com a\le\rho\le b e 0\le\varphi<2\pi;
  • vetor separação
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}' = (-\rho\cos\varphi,\,-\rho\sin\varphi,\,z).
A magnitude é
R=|\mathbf{R}|=\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}.
O elemento de área é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi. A carga no elemento é dq=p\,dA=p\,\rho\,d\rho\,d\varphi.

Passo 4

Componentes do campo e uso da simetria. Substituindo em Coulomb:
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{p\,\rho\,d\rho\,d\varphi}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\;(-\rho\cos\varphi,\,-\rho\sin\varphi,\,z).
Pelo enunciado queremos o campo sobre o eixo z. Pela simetria circular, as componentes horizontais ( x,y) se cancelam quando integramos \varphi de 0 a 2\pi (as funções \cos\varphi e \sin\varphi têm média zero). Portanto sobra apenas a componente z. Tomando somente a componente z e integrando em \varphi obtemos para um anel de raio \rho e espessura d\rho (ou seja, integrando \varphi primeiro):
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{p\,\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\;z\;\int_{0}^{2\pi}d\varphi
a integral em \varphi 2\pi, então
dE_{z}=\frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\;\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Isso é o campo na direção z devido ao anel fino entre \rho e \rho+d\rho. O vetor campo correspondente é d\mathbf{E}=dE_{z}\,\mathbf{a}_{2}, onde \mathbf{a}_{2} é a direção positiva do eixo z (conforme notação do enunciado).

Passo 5

Integração radial para todo o anel anular. Agora integramos \rho de a até b:
E_{z}(z)=\int_{a}^{b} \frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\;\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Fatoramos constantes:
E_{z}(z)=\frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\int_{a}^{b}\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Para calcular a integral, fazemos a substituição u=\rho^{2}+z^{2}. Então du=2\rho\,d\rho, ou \rho\,d\rho=\tfrac{1}{2}\,du. Os limites transformam-se para u(a)=a^{2}+z^{2} e u(b)=b^{2}+z^{2}. Assim
\int_{a}^{b}\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{1}{2}\int_{a^{2}+z^{2}}^{b^{2}+z^{2}} u^{-3/2}\,du.
A integral de u^{-3/2} é -2u^{-1/2}, logo
\frac{1}{2}\int_{a^{2}+z^{2}}^{b^{2}+z^{2}} u^{-3/2}\,du = \frac{1}{2}\left[ -2u^{-1/2}\right]_{a^{2}+z^{2}}^{b^{2}+z^{2}} = -\left[\frac{1}{\sqrt{u}}\right]_{a^{2}+z^{2}}^{b^{2}+z^{2}}.
Isso dá
\int_{a}^{b}\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}.
Substituindo de volta em E_{z}:
E_{z}(z)=\frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right).
Portanto o campo no eixo é
\mathbf{E}(0,0,z)=\frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right)\mathbf{a}_{2}.
Observação sobre o sinal: se z>0 o fator z/\sqrt{z^{2}+\cdot} é positivo e o campo aponta para +\mathbf{a}_{2}; se z<0 ele aponta para -\mathbf{a}_{2} (esperado fisicamente).

Passo 6

Limite para a placa infinita. Uma placa infinita de densidade superficial p_{0} pode ser vista como o caso a=0 e b\to\infty com p=p_{0}. Tomamos esses limites na expressão encontrada:
  • Primeiro coloque a=0. O primeiro termo fica \dfrac{1}{\sqrt{z^{2}+0}}=\dfrac{1}{|z|}.
  • Para b\to\infty, \dfrac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\to 0.
Assim
E_{z}(z)=\frac{p_{0}\,z}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{|z|}-0\right)=\frac{p_{0}}{2\epsilon_{0}}\frac{z}{|z|}.
Como \dfrac{z}{|z|}=+1 para z>0 e -1 para z<0, obtemos o resultado habitual: para a região acima da placa ( z>0)
\mathbf{E}=\frac{p_{0}}{2\epsilon_{0}}\,\mathbf{a}_{2},
e para z<0 o mesmo em sentido oposto. Isso coincide com a expressão pedida. (Fisicamente, o campo de uma placa infinita é independente de z e tem magnitude \dfrac{p_{0}}{2\epsilon_{0}}; seu sentido é sempre apontando para fora da placa se a carga for positiva.)

Passo 7

Breve reforço (intuição pelo Teorema de Gauss). Para fixar a intuição: com uma placa infinita, o campo não pode depender de z por simetria e deve ser perpendicular à placa. Pegue uma caixa cilíndrica (pillbox) atravessando a placa; aplicando o teorema de Gauss obtemos 2E\,A = \dfrac{p_{0}A}{\epsilon_{0}}, de onde E=p_{0}/(2\epsilon_{0}). Isso confirma o limite que calculamos integrando a distribuição.

Resposta

\mathbf{E}(0,0,z)=\frac{p\,z}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right)\mathbf{a}_{2}
\mathbf{E}=\frac{p_{0}}{2\epsilon_{0}}\,\mathbf{a}_{2}

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