Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{7}+2 x+1}{5 x^{3}-2 x^{2}-900000}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende para +\infty da função racional abaixo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{7}+2x+1}{5x^{3}-2x^{2}-900000}.
Informações dadas:
  • Numerador: polinômio x^{7}+2x+1. O termo de maior grau é x^{7} (grau 7) e o coeficiente líder é 1.
  • Denominador: polinômio 5x^{3}-2x^{2}-900000. O termo de maior grau é 5x^{3} (grau 3) e o coeficiente líder é 5.
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para comparar crescimento de polinômios quando x\to\infty o termo que manda é sempre o de maior grau (o termo “líder”). Se temos dois polinômios
P(x)=a_n x^n+\text{(termos de grau menor)},\qquad Q(x)=b_m x^m+\text{(termos de grau menor)},
com a_n\neq0 e b_m\neq0, então o comportamento do quociente \dfrac{P(x)}{Q(x)} quando x\to\infty depende das ordens n e m:
  • Se n<m, então \dfrac{P(x)}{Q(x)}\to0.
  • Se n=m, então \dfrac{P(x)}{Q(x)}\to\dfrac{a_n}{b_m}.
  • Se n>m, então \dfrac{P(x)}{Q(x)} cresce em módulo como x^{\,n-m} e tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do coeficiente a_n/b_m para x\to+\infty.
Explicando por que isso é verdade (passo prático usado em prova): é comum fatorar x^{n} do numerador e x^{m} do denominador e simplificar; os termos com potências negativas tendem a zero e sobra a potência x^{\,n-m} multiplicando uma constante.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto:
  • Grau do numerador n=7 e coeficiente líder a_n=1.
  • Grau do denominador m=3 e coeficiente líder b_m=5.
    Como n>m (7>3), o quociente deve crescer como uma potência positiva de x. Vamos fazer a fatoração para ver isso explicitamente.

Passo 4

Fatoramos x^{7} no numerador e x^{3} no denominador e simplificamos:
\frac{x^{7}+2x+1}{5x^{3}-2x^{2}-900000} = \frac{x^{7}\!\left(1+\dfrac{2}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{7}}\right)}{x^{3}\!\left(5-\dfrac{2}{x}-\dfrac{900000}{x^{3}}\right)} = x^{4}\cdot\frac{1+\dfrac{2}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{7}}}{5-\dfrac{2}{x}-\dfrac{900000}{x^{3}}}.
Agora analisamos o limite dos fatores quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{7}}\right)=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(5-\dfrac{2}{x}-\dfrac{900000}{x^{3}}\right)=5.
Pelo teorema das operações com limites (produto/ quociente de limites quando denominador não zera), o quociente dentro do produto tende a \dfrac{1}{5}. Assim, para x grande a função é aproximadamente
x^{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}x^{4}.
Como x^{4}\to+\infty quando x\to+\infty e o fator \dfrac{1}{5} é positivo, o produto tende a +\infty.

Passo 5

Interpretação prática para a prova: quando o numerador tem grau maior que o denominador, basta observar a diferença de graus n-m (aqui 7-3=4) e o quociente dos coeficientes líderes ( 1/5). O limite será (assintoticamente) \dfrac{1}{5}x^{4} que diverge para +\infty. Isso é suficiente para responder rapidamente na prova.

Resposta

+\infty

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