Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende para
da função racional abaixo:
Informações dadas:
- Numerador: polinômio
. O termo de maior grau é (grau ) e o coeficiente líder é . - Denominador: polinômio
. O termo de maior grau é (grau ) e o coeficiente líder é . - A variável
tende para .
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para comparar crescimento de polinômios quando
o termo que manda é sempre o de maior grau (o termo “líder”). Se temos dois polinômios
com
e
, então o comportamento do quociente
quando
depende das ordens
e
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então cresce em módulo como e tende a ou conforme o sinal do coeficiente para .
Explicando por que isso é verdade (passo prático usado em prova): é comum fatorar
do numerador e
do denominador e simplificar; os termos com potências negativas tendem a zero e sobra a potência
multiplicando uma constante.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto:
- Grau do numerador
e coeficiente líder . - Grau do denominador
e coeficiente líder .
Como(7>3), o quociente deve crescer como uma potência positiva de . Vamos fazer a fatoração para ver isso explicitamente.
Passo 4
Fatoramos
no numerador e
no denominador e simplificamos:
Agora analisamos o limite dos fatores quando
:
Pelo teorema das operações com limites (produto/ quociente de limites quando denominador não zera), o quociente dentro do produto tende a
. Assim, para
grande a função é aproximadamente
Como
quando
e o fator
é positivo, o produto tende a
.
Passo 5
Interpretação prática para a prova: quando o numerador tem grau maior que o denominador, basta observar a diferença de graus
(aqui
) e o quociente dos coeficientes líderes (
). O limite será (assintoticamente)
que diverge para
. Isso é suficiente para responder rapidamente na prova.