Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}+x+1}{x^{3}-2 x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede o limite seguinte quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^{2}+x+1}{x^{3}-2x^{2}-25}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Numerador: 2x^{2}+x+1.
  • Denominador: x^{3}-2x^{2}-25.
  • A variável tende para +\infty.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): quando x\to+\infty as potências de x dominam os termos constantes; termos com potências menores crescem mais devagar. Aqui o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é um polinômio de grau 3. Isso sugere que a razão deve tender a zero, mas vamos mostrar isso de forma rigorosa.

Passo 3

Método prático e sistemático: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{3}. Isso normaliza a expressão e deixa claro o comportamento de cada termo quando x\to+\infty.

Passo 4

Dividindo tudo por x^{3} obtemos:
\frac{2x^{2}+x+1}{x^{3}-2x^{2}-25} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{25}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{25}{x^{3}}}.

Passo 5

Agora analisamos o limite termo a termo. Para qualquer inteiro k>0 vale
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Isto porque, para x\ge 1, 0\le \dfrac{1}{x^{k}}\le \dfrac{1}{x} e \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, então pelo princípio de confronto todos os \dfrac{1}{x^{k}} tendem a 0.

Passo 6

Aplicando isso à expressão do Passo 4, cada termo com fator \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}} ou \dfrac{1}{x^{3}} tende a 0. Portanto o numerador da fração do Passo 4 tende a 0 e o denominador tende a 1. Assim o limite da razão é
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{25}{x^{3}}} = \frac{0+0+0}{1-0-0}=0.

Passo 7

Interpretação prática para a prova: quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador em uma função racional entre polinômios, o limite quando x\to\pm\infty é 0. Aqui grau do numerador é 2 e do denominador é 3, portanto o resultado confirma a regra.

Resposta

0

Exercícios relacionados