Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite seguinte quando
tende para
:
Informações dadas que vamos usar:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável tende para
.
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): quando
as potências de
dominam os termos constantes; termos com potências menores crescem mais devagar. Aqui o numerador é um polinômio de grau
e o denominador é um polinômio de grau
. Isso sugere que a razão deve tender a zero, mas vamos mostrar isso de forma rigorosa.
Passo 3
Método prático e sistemático: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
. Isso normaliza a expressão e deixa claro o comportamento de cada termo quando
.
Passo 4
Dividindo tudo por
obtemos:
Passo 5
Agora analisamos o limite termo a termo. Para qualquer inteiro
vale
Isto porque, para
,
e
, então pelo princípio de confronto todos os
tendem a
.
Passo 6
Aplicando isso à expressão do Passo 4, cada termo com fator
,
ou
tende a
. Portanto o numerador da fração do Passo 4 tende a
e o denominador tende a
. Assim o limite da razão é
Passo 7
Interpretação prática para a prova: quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador em uma função racional entre polinômios, o limite quando
é
. Aqui grau do numerador é
e do denominador é
, portanto o resultado confirma a regra.