Quarta Questão (2,5 pts): Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F} dado por
\vec{F}(x, y, z)=\langle y,-x, z-1\rangle
através do hemisfério \left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, z \geq 0\right\}, com orientação para cima.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede o fluxo do campo vetorial \vec{F} através do hemisfério superior orientado para cima; isto é, calcular
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é o hemisfério \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,\\ z\ge0\} e \mathbf{n} é o vetor normal que aponta para cima (tem componente z positiva).
  • O campo vetorial dado é \vec{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z-1\rangle.
  • Raio da esfera: r=3.
    Resumo das informações relevantes:
  • Superfície S: hemisfério de raio 3, parte superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • Orientação: normal com componente z\ge0 (orientação para cima).
  • Campo: \vec{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z-1\rangle.

Passo 2

Escolha do método e declaração do teorema que vamos usar (explicação didática).
  • Motivação: é mais simples usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque transforma um integral de superfície em um integral de volume mais fácil de calcular, especialmente quando a divergência é simples.
  • Enunciado do Teorema da Divergência (versão usada): se V é um volume com superfície fechada \partial V orientada externamente, então
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Explicação do que é divergência: a divergência de um campo \vec{F}=\langle F_{1},F_{2},F_{3}\rangle é
\displaystyle \nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z},
ou seja, soma das derivadas parciais das componentes; mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
  • Vamos aplicar o Teorema da Divergência ao volume V que é a semiesfera (bola superior) de raio 3. A superfície fechada \partial V é formada pelo hemisfério S (orientado para fora, que no caso superior tem componente z>0) mais o disco plano D no plano z=0.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F} (passo técnico básico).
  • Acompanhe cada termo: \vec{F}=\langle y,-x,z-1\rangle.
  • Calcule derivadas parciais:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 porque y é tratado como constante ao derivar em x.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-x)=0 porque -x é constante em relação a y.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(z-1)=1.
  • Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=0+0+1=1.
Comentário didático: a divergência é a constante 1, o que facilita muito o cálculo porque o integral volumétrico de 1 sobre V é simplesmente o volume de V.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência e calcular o integral volumétrico.
  • Pelo teorema,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}1\,dV=\text{Vol}(V).
  • V é a semiesfera (bola superior) de raio 3. O volume da esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Então o volume da semiesfera é metade disso:
\text{Vol}(V)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{2}{3}\pi r^{3}.
  • Com r=3 obtemos r^{3}=27, então
\text{Vol}(V)=\frac{2}{3}\pi\cdot27=18\pi.
  • Portanto o fluxo através da superfície fechada \partial V (hemisfério S mais disco D) é 18\pi:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=18\pi.

Passo 5

Determine a orientação correta do disco D e calcule o fluxo através dele.
  • Geometria e orientação: queremos a fluxagem pelo hemisfério S com normal apontando para cima (ou seja, com componente z positiva). Ao formar a superfície fechada \partial V que envolve o volume V (a semiesfera), a orientação externa exige que o disco D (no plano z=0) tenha seu vetor normal apontando para baixo (ou seja, \mathbf{n}_{D}=-\mathbf{k}), porque esse vetor aponta para fora do volume V (fora da semiesfera superior).
  • Parâmetros do disco: D=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\} (raio 3).
  • Campo no disco (substituir z=0): \vec{F}(x,y,0)=\langle y,-x,-1\rangle.
  • Vetor normal do disco orientado para baixo: \mathbf{n}_{D}=-\mathbf{k}=(0,0,-1).
  • Produto escalar \vec{F}\cdot\mathbf{n}_{D}:
\vec{F}(x,y,0)\cdot(0,0,-1)=\langle y,-x,-1\rangle\cdot\langle 0,0,-1\rangle = (-1)\cdot(-1)=1.
Observação: o resultado é a constante 1 em todo o disco.
  • Logo o fluxo pelo disco é
\iint_{D}\vec{F}\cdot\mathbf{n}_{D}\,dS=\iint_{D}1\,dS=\text{Área}(D)=\pi r^{2}=\pi\cdot 3^{2}=9\pi.Á

Passo 6

Calcular o fluxo pedido (fluxo pelo hemisfério) subtraindo o fluxo do disco do fluxo do fechado, e verificação rápida por parâmetro da esfera (checagem didática).
  • Usando a relação do Passo 4:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \text{Fluxo}_{\partial V} - \text{Fluxo}_{D} = 18\pi - 9\pi = 9\pi.
  • Verificação alternativa (resumo do cálculo direto, para treinar):
    • Em uma esfera de raio r o versor normal externo é \mathbf{\hat n}=\dfrac{1}{r}\langle x,y,z\rangle.
    • Em S (esfera r=3) temos \mathbf{\hat n}=\dfrac{1}{3}\langle x,y,z\rangle. Então
    \vec{F}\cdot\mathbf{\hat n}=\frac{1}{3}\big( yx +(-x)y + (z-1)z\big)=\frac{1}{3}\big(z^{2}-z\big).
    • Como z=3\cos\varphi e dS=r^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta=9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta, ao integrar em \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\pi/2] obtém-se o mesmo valor 9\pi. (Os passos integrais podem ser feitos se quiser praticar, mas aqui serve só como verificação.)
  • Resultado final coerente: o fluxo através do hemisfério orientado para cima é \;9\pi.

Resposta

9\pi

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