Quarta Questão (2,5 pts): Calcule o fluxo do campo vetorial
dado por
através do hemisfério
, com orientação para cima.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede o fluxo do campo vetorial
através do hemisfério superior orientado para cima; isto é, calcular
onde
é o hemisfério
e
é o vetor normal que aponta para cima (tem componente
positiva).
- O campo vetorial dado é
. - Raio da esfera:
.
Resumo das informações relevantes: - Superfície
: hemisfério de raio , parte superior da esfera . - Orientação: normal com componente
(orientação para cima). - Campo:
.
Passo 2
Escolha do método e declaração do teorema que vamos usar (explicação didática).
- Motivação: é mais simples usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque transforma um integral de superfície em um integral de volume mais fácil de calcular, especialmente quando a divergência é simples.
- Enunciado do Teorema da Divergência (versão usada): se
é um volume com superfície fechada orientada externamente, então
Explicação do que é divergência: a divergência de um campo
é
ou seja, soma das derivadas parciais das componentes; mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
- Vamos aplicar o Teorema da Divergência ao volume
que é a semiesfera (bola superior) de raio . A superfície fechada é formada pelo hemisfério (orientado para fora, que no caso superior tem componente ) mais o disco plano no plano .
Passo 3
Calcular a divergência de
(passo técnico básico).
- Acompanhe cada termo:
. - Calcule derivadas parciais:
-
porque é tratado como constante ao derivar em . -
porque é constante em relação a . -
.
-
- Portanto
Comentário didático: a divergência é a constante
, o que facilita muito o cálculo porque o integral volumétrico de
sobre
é simplesmente o volume de
.
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência e calcular o integral volumétrico.
- Pelo teorema,
-
é a semiesfera (bola superior) de raio . O volume da esfera de raio é . Então o volume da semiesfera é metade disso:
- Com
obtemos , então
- Portanto o fluxo através da superfície fechada
(hemisfério mais disco ) é :
Passo 5
Determine a orientação correta do disco
e calcule o fluxo através dele.
- Geometria e orientação: queremos a fluxagem pelo hemisfério
com normal apontando para cima (ou seja, com componente positiva). Ao formar a superfície fechada que envolve o volume (a semiesfera), a orientação externa exige que o disco (no plano ) tenha seu vetor normal apontando para baixo (ou seja, ), porque esse vetor aponta para fora do volume (fora da semiesfera superior). - Parâmetros do disco:
(raio ). - Campo no disco (substituir
): . - Vetor normal do disco orientado para baixo:
. - Produto escalar
:
Observação: o resultado é a constante
em todo o disco.
- Logo o fluxo pelo disco é
Passo 6
Calcular o fluxo pedido (fluxo pelo hemisfério) subtraindo o fluxo do disco do fluxo do fechado, e verificação rápida por parâmetro da esfera (checagem didática).
- Usando a relação do Passo 4:
- Verificação alternativa (resumo do cálculo direto, para treinar):
- Em uma esfera de raio
o versor normal externo é . - Em
(esfera ) temos . Então
- Como
e , ao integrar em e obtém-se o mesmo valor . (Os passos integrais podem ser feitos se quiser praticar, mas aqui serve só como verificação.)
- Em uma esfera de raio
- Resultado final coerente: o fluxo através do hemisfério orientado para cima é
.