Questão - 6: Determine o coeficiente angular da reta tangente a função g(x)=4 \ln x+\cos x \operatorname{sen} x no ponto \mathrm{x}=\pi.
a) 2 / 3 \pi
b) 1+4 / \pi
c) 1 / 3 \pi
d) 1-3 / \pi
e) 1+3 / \pi

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=4\ln x + \cos x\,\sin x
e pede o coeficiente angular da reta tangente em x=\pi, isto é o valor de g'(\pi). Para isso, vamos usar a derivada de \ln x, a regra do produto e a identidade trigonométrica para \cos^2x - \sin^2x.

Passo 2

Calculamos a derivada da parte 4\ln x. Como \frac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(4\ln x\bigr) =4\cdot\frac1x =\frac{4}{x}.

Passo 3

Agora derivamos \cos x\,\sin x usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\,\sin x\bigr) =\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\sin x) +\sin x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) =\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) =\cos^2x-\sin^2x.
Reconhecemos \cos^2x-\sin^2x como \cos(2x).

Passo 4

Somando as duas partes,
g'(x)=\frac{4}{x}+\cos(2x).
Logo em x=\pi:
g'(\pi)=\frac{4}{\pi}+\cos(2\pi) =\frac{4}{\pi}+1.

Resposta

b) 1+\tfrac{4}{\pi}

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