Um sistema de aquecimento de água solar consiste em um tanque de água quente e um painel solar. O tanque é bem isolado e tem uma constante de tempo de 64 horas. O painel solar gera 2.000 \mathrm{Btu} / hora durante o dia, e o tanque tem uma capacidade de calor de 2^{\circ} \mathrm{F} por mil Btus. Se a água no tanque está a 110^{\circ} \mathrm{F} e a temperatura ambiente fora do tanque é de 80^{\circ} \mathrm{F}, qual será a temperatura no tanque após 12 horas de luz do sol?

Passo 1

O enunciado dá um tanque de água com constante de tempo \tau=64 h, capacidade térmica tal que 1000 Btu elevam a água em 2^\circF, um painel que fornece 2000 Btu/h, temperatura inicial T(0)=110^\circF e ambiente a T_{\rm amb}=80^\circF.
O conteúdo aqui é o balanço de energia com entrada de calor e perda pela lei de Newton do resfriamento, levando a uma EDO linear de 1º ordem.

Passo 2

Calcular a capacidade térmica C (em Btu/°F) e a taxa de aquecimento sem perdas:
O enunciado diz que 1000 Btu produzem \Delta T=2^\circF, logo
C = \frac{1000\text{ Btu}}{2^\circ\text{F}} = 500\;\text{Btu/}^\circ\text{F}.
O painel entrega Q_{\rm in}=2000 Btu/h, que em termos de aumento de temperatura (se não houvesse perdas) daria
\frac{Q_{\rm in}}{C} = \frac{2000}{500} = 4\;^\circ\text{F/h}.

Passo 3

Escrever a EDO de balanço de energia. Pela lei de Newton a perda é \frac{C}{\tau}(T-T_{\rm amb}). Assim
C\,\frac{dT}{dt} = Q_{\rm in} \;-\;\frac{C}{\tau}\bigl(T - T_{\rm amb}\bigr).
Dividindo por C:
\frac{dT}{dt} = \frac{Q_{\rm in}}{C} \;-\;\frac{1}{\tau}\,(T - T_{\rm amb}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau}\,T = \frac{Q_{\rm in}}{C} + \frac{T_{\rm amb}}{\tau}.

Passo 4

Determinar a temperatura estacionária T_{\rm s} (onde dT/dt=0):
0 + \frac{1}{\tau}\,T_{\rm s} = \frac{Q_{\rm in}}{C} + \frac{T_{\rm amb}}{\tau} \;\Longrightarrow\; T_{\rm s} = \tau\,\frac{Q_{\rm in}}{C} + T_{\rm amb} = 64\cdot 4 + 80 = 256 + 80 = 336^\circ\text{F}.

Passo 5

Escrever a solução geral da EDO linear de 1ª ordem:
T(t) = T_{\rm s} + \bigl(T(0) - T_{\rm s}\bigr)\,e^{-t/\tau} = 336 - (336 - 110)\,e^{-t/64} = 336 - 226\,e^{-t/64}.

Passo 6

Calcular T(12):
e^{-12/64} = e^{-0,1875}\approx 0,829,
T(12) = 336 - 226 \times 0,829 \approx 336 - 187{,}4 = 148{,}6^\circ\text{F}.

Resposta

A temperatura após 12 horas será aproximadamente 149^\circF.

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