Questão - 5: Uma grandeza física \mathrm{C}(\mathrm{t}) é definida como a taxa de variação instantânea da grandeza \mathrm{A}(\mathrm{t}) pela variação do tempo. Sabendo que \mathrm{A}(\mathrm{t})=2 e^{t}+3 \log t, \mathrm{t}>0, determine a equação de C(t).
a) e^{t}+\frac{3}{\ln 10}
b) 2 e^{t}+\frac{3}{t}
c) 2 e^{t}+\frac{3}{t \ln 10}
d) e^{t} \ln 2-\frac{1}{t \ln 10}
e) e^{t}+\frac{3 t}{\ln 10}

Passo 1

O enunciado diz que C(t) é a taxa de variação instantânea de A(t), ou seja,
C(t)=\frac{dA}{dt}.
A função dada é
A(t)=2e^{t}+3\log t,\quad t>0.
Para resolver, vamos usar a regra da derivada de e^{t} e a derivada de \log_{10}t.

Passo 2

Derivando o termo exponencial 2e^{t}:
a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}, logo
\frac{d}{dt}\bigl(2e^{t}\bigr)=2e^{t}.

Passo 3

Derivando o termo logarítmico 3\log t:
aqui \log t é o logaritmo de base 10, cuja derivada é
\frac{d}{dt}\bigl(\log_{10}t\bigr)=\frac{1}{t\ln 10}.
Multiplicando por 3, temos
\frac{d}{dt}\bigl(3\log t\bigr)=3\cdot\frac{1}{t\ln 10}=\frac{3}{t\ln 10}.

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
C(t)=2e^{t}+\frac{3}{t\ln 10}.

Resposta

(c) 2e^{t}+\frac{3}{t\ln 10}

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