Questão - 4: Determine a derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x^{2} \ln x}{5+\cos x} no ponto \mathrm{x}=\pi.
a) \frac{\pi(1+2 \ln \pi)}{4}
b) \frac{5+\ln \pi}{\pi^{2}}
c) \frac{\pi(1-2 \ln \pi)}{2}
d) \frac{5+\ln \pi}{\pi^{2}+5}
e) \frac{5-\ln \pi}{\pi^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}\ln x}{5+\cos x}
no ponto x=\pi. O conteúdo envolvido é derivada de quociente, derivada de produto e derivada de funções elementares \ln x, \cos x, \sin x.

Passo 2

Definimos
g(x)=x^{2}\ln x,\quad h(x)=5+\cos x.
Usando a regra do produto em g, temos
g'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =2x\ln x + x^{2}\cdot\frac1x =2x\ln x + x =x\bigl(2\ln x+1\bigr).
E em h,
h'(x)=\frac{d}{dx}(5+\cos x)=-\sin x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Em x=\pi temos \cos\pi=-1, \sin\pi=0, logo
h(\pi)=5-1=4, \quad h'(\pi)=0, \quad g'(\pi)=\pi\bigl(2\ln\pi+1\bigr).
Como g(\pi)\,h'(\pi)=0, resulta
f'(\pi) =\frac{g'(\pi)\,4}{4^{2}} =\frac{\pi\bigl(2\ln\pi+1\bigr)}{4} =\frac{\pi\bigl(1+2\ln\pi\bigr)}{4}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\pi(1+2\ln\pi)}{4}

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