Questão 4
Calcule o comprimento da curva
Calcule o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação $ y = \sqrt{2024 - x^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
Isso significa que precisamos integrar a expressão dentro da raiz entre os limites $ a $ e $ b $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da função $ y = \sqrt{2024 - x^{2}} $. Vamos derivar usando a regra da cadeia:
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Sabemos que $ \sqrt{2024} = 45 $, então:
Passo 7
Observando que a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular a integral de 0 a 45 e depois multiplicar por 2:
Passo 8
Agora, lembramos que a integral:
Onde $ a = 45 $. Aplicando isso na nossa integral:
Passo 9
Vamos calcular os limites da integral:
E:
Passo 10
Substituindo os valores na expressão do comprimento:
Resposta
O comprimento da curva é $ 45\pi $ unidades.