Questão 4
Calcule o comprimento da curva y=raiz2024-x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada pela equação $ y = \sqrt{2024 - x^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $. A fórmula é:
y = f(x)
Isso significa que precisamos integrar a expressão dentro da raiz entre os limites $ a $ e $ b $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da função $ y = \sqrt{2024 - x^{2}} $. Vamos derivar usando a regra da cadeia:
dydx

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
L = integral-a^a raiz1 + ( -xraiz2024 - x^2 )^2 , dx = integral-a^a raiz1 + x^22024 - x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + x^22024 - x^2 = 2024 - x^2 + x^22024 - x^2 = 20242024 - x^2

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
L = integral-a^a raiz 20242024 - x^2 , dx = raiz2024 integral-a^a 1raiz2024 - x^2 , dx
Sabemos que $ \sqrt{2024} = 45 $, então:
raiz2024 = 45

Passo 7

Observando que a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular a integral de 0 a 45 e depois multiplicar por 2:
L = 2 times 45 integral0^45 1raiz2024 - x^2 , dx

Passo 8

Agora, lembramos que a integral:
integral 1raiza^2 - x^2 , dx = arcsin( xa ) + C
Onde $ a = 45 $. Aplicando isso na nossa integral:
a = 45

Passo 9

Vamos calcular os limites da integral:
arcsin( 4545 ) = arcsin(1) = pi2
E:
arcsin( 045 ) = arcsin(0) = 0

Passo 10

Substituindo os valores na expressão do comprimento:
L = 2 times 45 times ( pi2 - 0 ) = 2 times 45 times pi2 = 45pi

Resposta

O comprimento da curva é $ 45\pi $ unidades.

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