Questão 1(2,0): Calcular o limite das seguintes funções vetoriais
\begin{gathered} \lim _{t \rightarrow 0}\left(\cos t \vec{i}+t^{2} \vec{j}-5 \vec{k}\right) \\\ \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t-2}\right)\left[\left(t^{2}-4\right) \vec{i}+(t-2) \vec{j}\right. \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos os limites, quando t \to 0, das duas funções vetoriais abaixo:
\lim_{t\to 0}\bigl(\cos t\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}-5\,\vec{k}\bigr)
\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t-2}\right)\bigl[(t^{2}-4)\,\vec{i}+(t-2)\,\vec{j}\bigr]
Informações relevantes dadas:
  • A variável que tende a um valor é t e o ponto de interesse é t\to 0.
  • As expressões são combinações lineares das direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}.
  • Não há figura ou dado escondido: tudo está explícito nos vetores acima.

Passo 2

Teoria / ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Para funções vetoriais da forma \, \vec{r}(t)=f(t)\,\vec{i}+g(t)\,\vec{j}+h(t)\,\vec{k}\,, vale a propriedade importante:
\lim_{t\to a}\vec{r}(t)=\left(\lim_{t\to a}f(t)\right)\vec{i}+\left(\lim_{t\to a}g(t)\right)\vec{j}+\left(\lim_{t\to a}h(t)\right)\vec{k},
desde que os limites de f,g,h existam. Ou seja: o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes — podemos trabalhar componente a componente.
  • Também usamos que funções elementares contínuas (por exemplo \cos t, polinômios, funções racionais quando o denominador não zera no ponto) podem ser avaliadas simplesmente substituindo o ponto quando são contínuas ali.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite, passo a passo:
A função vetorial é \cos t\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}-5\,\vec{k}.
Aplicando a propriedade componente a componente:
  • Para a componente em \vec{i}: \lim_{t\to 0}\cos t=\cos 0=1. (Usamos a continuidade de \cos.)
  • Para a componente em \vec{j}: \lim_{t\to 0}t^{2}=0. (Polinômios são contínuos.)
  • Para a componente em \vec{k}: \lim_{t\to 0}(-5)=-5. (Constante.)
    Portanto o limite do vetor é
1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}-5\cdot\vec{k}=\vec{i}-5\vec{k}.

Passo 4

Preparação para o segundo limite:
A expressão é
\left(\frac{1}{t-2}\right)\bigl[(t^{2}-4)\,\vec{i}+(t-2)\,\vec{j}\bigr].
Vamos distribuir o fator escalar \dfrac{1}{t-2} e tratar componente a componente:
\left(\frac{t^{2}-4}{t-2}\right)\vec{i}+\left(\frac{t-2}{t-2}\right)\vec{j}.
Observe que, para todos os t diferentes de 2, podemos simplificar. Como estamos tomando t\to 0 (valores próximos de 0, não de 2), a simplificação é válida para os t da vizinhança de 0.

Passo 5

Simplificação algébrica e avaliação do limite:
  • Fatore o numerador t^{2}-4 como diferença de quadrados:
t^{2}-4=(t-2)(t+2).
  • Substituindo na componente \vec{i}:
\frac{t^{2}-4}{t-2}=\frac{(t-2)(t+2)}{t-2}=t+2\quad\text{(para }t\neq 2\text{)}.
  • Para a componente \vec{j}:
\frac{t-2}{t-2}=1\quad\text{(para }t\neq 2\text{)}.
Assim a expressão se reduz, na vizinhança de 0, a
(t+2)\,\vec{i}+1\cdot\vec{j}.
Agora tomamos o limite t\to 0 substituindo t=0 (funções resultantes são polinomiais/constantes, contínuas):
(0+2)\,\vec{i}+1\cdot\vec{j}=2\vec{i}+\vec{j}.
Note que não há componente em \vec{k}, portanto sua componente é 0.

Resposta

\vec{i}-5\vec{k}\n
2\vec{i}+\vec{j}

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