Questão 1(2,0): Calcular o limite das seguintes funções vetoriais
Passo 1
O enunciado pede que calculemos os limites, quando
, das duas funções vetoriais abaixo:
Informações relevantes dadas:
- A variável que tende a um valor é
e o ponto de interesse é . - As expressões são combinações lineares das direções
. - Não há figura ou dado escondido: tudo está explícito nos vetores acima.
Passo 2
Teoria / ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- Para funções vetoriais da forma
, vale a propriedade importante:
desde que os limites de
existam. Ou seja: o limite do vetor é o vetor dos limites das componentes — podemos trabalhar componente a componente.
- Também usamos que funções elementares contínuas (por exemplo
, polinômios, funções racionais quando o denominador não zera no ponto) podem ser avaliadas simplesmente substituindo o ponto quando são contínuas ali.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite, passo a passo:
A função vetorial é .
Aplicando a propriedade componente a componente:
A função vetorial é
Aplicando a propriedade componente a componente:
- Para a componente em
: . (Usamos a continuidade de .) - Para a componente em
: . (Polinômios são contínuos.) - Para a componente em
: . (Constante.)
Portanto o limite do vetor é
Passo 4
Preparação para o segundo limite:
A expressão é
A expressão é
Vamos distribuir o fator escalar
e tratar componente a componente:
Observe que, para todos os
diferentes de
, podemos simplificar. Como estamos tomando
(valores próximos de
, não de
), a simplificação é válida para os
da vizinhança de
.
Passo 5
Simplificação algébrica e avaliação do limite:
- Fatore o numerador
como diferença de quadrados:
- Substituindo na componente
:
- Para a componente
:
Assim a expressão se reduz, na vizinhança de
, a
Agora tomamos o limite
substituindo
(funções resultantes são polinomiais/constantes, contínuas):
Note que não há componente em
, portanto sua componente é
.