Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
c) a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\sqrt{\frac{n+1}{9n+1}}
converge ou diverge, e, em caso de convergência, qual é o seu limite. As informações dadas são apenas a fórmula explícita de a_{n} para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vamos observar o comportamento da fração dentro da raiz
\frac{n+1}{9n+1},
pois a sequência a_{n} é a raiz quadrada dessa fração. Uma técnica simples é dividir numerador e denominador por n (que cresce e nunca é zero para n natural) para ver o termo dominante quando n\to\infty. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\frac{n+1}{9n+1}=\frac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{9n}{n}+\dfrac{1}{n}}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{9+\dfrac{1}{n}}.
Agora pense no limite quando n\to\infty: o termo \dfrac{1}{n} tende a 0. Logo, a fração acima tende a
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n}}{9+\dfrac{1}{n}}=\frac{1+0}{9+0}=\frac{1}{9}.

Passo 4

Explicando por que posso trocar limite e raiz: a função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em (0,\infty). A fração \dfrac{n+1}{9n+1} é positiva para todo n, portanto está num domínio onde a raiz é contínua. Uma propriedade básica de limites afirma que, se b_{n}\to L e f é contínua em L, então f(b_{n})\to f(L). Aqui b_{n}=\dfrac{n+1}{9n+1} e f(x)=\sqrt{x}, com L=\dfrac{1}{9}. Assim
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{9n+1}}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{9n+1}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Para reforçar (útil na prova): pode-se também argumentar que a sequência é monótona decrescente e limitada abaixo por 0, o que garante convergência. Uma forma rápida é considerar a função contínua
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{9x+1}}
para x>0. Calculando sua derivada obtém-se
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{9x+1}}}\cdot\frac{(9x+1)-(x+1)\cdot 9}{(9x+1)^2}=\frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{9x+1}}}\cdot\frac{-8}{(9x+1)^2}<0,
logo f é decrescente e, em particular, a sequência a_n=f(n) é decrescente. Como a_n>0 para todo n, é limitada inferiormente por 0. Pelo teorema do limite de sequência monótona, a_n converge; combinando com o Passo 4 obtemos o mesmo limite \tfrac{1}{3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{3}.

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