Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge, e, em caso de convergência, qual é o seu limite. As informações dadas são apenas a fórmula explícita de
para
.
Passo 2
Vamos observar o comportamento da fração dentro da raiz
pois a sequência
é a raiz quadrada dessa fração. Uma técnica simples é dividir numerador e denominador por
(que cresce e nunca é zero para
natural) para ver o termo dominante quando
. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Agora pense no limite quando
: o termo
tende a
. Logo, a fração acima tende a
Passo 4
Explicando por que posso trocar limite e raiz: a função
é contínua em
. A fração
é positiva para todo
, portanto está num domínio onde a raiz é contínua. Uma propriedade básica de limites afirma que, se
e
é contínua em
, então
. Aqui
e
, com
. Assim
Passo 5
Para reforçar (útil na prova): pode-se também argumentar que a sequência é monótona decrescente e limitada abaixo por
, o que garante convergência. Uma forma rápida é considerar a função contínua
para
. Calculando sua derivada obtém-se
logo
é decrescente e, em particular, a sequência
é decrescente. Como
para todo
, é limitada inferiormente por
. Pelo teorema do limite de sequência monótona,
converge; combinando com o Passo 4 obtemos o mesmo limite
.
Resposta
A sequência converge e