Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge quando
. Se convergir, encontrar o limite; se divergir, dizer para onde diverge (por exemplo
ou
).
Informações dadas:
- A sequência é definida para
grandes por . - Queremos o comportamento quando
.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): quando aparece soma de termos com potências diferentes de
dentro de uma raiz, o truque é fatorar a maior potência comum para identificar a ordem de grandeza. Aqui dentro da raiz o termo dominante é
. Vou fatorar
dentro da raiz para simplificar.
Cálculo de fatoração:
Usando a propriedade
, temos
Passo 3
Substituindo isso em
:
Ou seja,
Explicação das peças:
cresce sem limite quando
. O fator
tende a
quando
, e a função
é contínua em
, logo
Passo 4
Agora passo ao limite combinando as informações: como o denominador tende a
e o numerador tende a
,
Para tornar a conclusão mais rigorosa com uma comparação simples: para todo
vale
, então
Como
quando
, segue que
. Isso prova que a sequência diverge e que o comportamento é de crescimento sem limite (para
).
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova: o termo dominante no numerador tem ordem
e no denominador, por conta da raiz, o termo dominante é da ordem
. Assim a razão tem ordem
, ou seja cresce como
. Sempre que em problemas do tipo polinômio sobre raiz de polinômio, identifique as maiores potências e fatorize; isso te diz se a sequência tende a zero, a um número finito ou diverge para infinito.
Resposta
A sequência diverge;
.