Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
d) a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}
converge ou diverge quando n\to\infty. Se convergir, encontrar o limite; se divergir, dizer para onde diverge (por exemplo +\infty ou -\infty).
Informações dadas:
  • A sequência é definida para n\in\mathbb{N} grandes por a_{n}=\dfrac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+4 n}}.
  • Queremos o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): quando aparece soma de termos com potências diferentes de n dentro de uma raiz, o truque é fatorar a maior potência comum para identificar a ordem de grandeza. Aqui dentro da raiz o termo dominante é n^{3}. Vou fatorar n^{3} dentro da raiz para simplificar.
Cálculo de fatoração:
\sqrt{n^{3}+4n}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{4n}{n^{3}}\right)}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)}.
Usando a propriedade \sqrt{n^{3}}=n^{3/2}, temos
\sqrt{n^{3}+4n}=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}.

Passo 3

Substituindo isso em a_{n}:
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}=\frac{n^{2-3/2}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}=\frac{n^{1/2}}{\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}.
Ou seja,
a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}}.
Explicação das peças: \sqrt{n} cresce sem limite quando n\to\infty. O fator \dfrac{4}{n^{2}} tende a 0 quando n\to\infty, e a função x\mapsto\sqrt{1+x} é contínua em x=0, logo
\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1+0}=1.

Passo 4

Agora passo ao limite combinando as informações: como o denominador tende a 1 e o numerador tende a +\infty,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}}= \frac{+\infty}{1}=+\infty.
Para tornar a conclusão mais rigorosa com uma comparação simples: para todo n\geq1 vale \sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}\leq \sqrt{5}, então
a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}}\geq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{5}}.
Como \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{5}}\to+\infty quando n\to\infty, segue que a_{n}\to+\infty. Isso prova que a sequência diverge e que o comportamento é de crescimento sem limite (para +\infty).

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: o termo dominante no numerador tem ordem n^{2} e no denominador, por conta da raiz, o termo dominante é da ordem n^{3/2}. Assim a razão tem ordem n^{2}/n^{3/2}=n^{1/2}, ou seja cresce como \sqrt{n}. Sempre que em problemas do tipo polinômio sobre raiz de polinômio, identifique as maiores potências e fatorize; isso te diz se a sequência tende a zero, a um número finito ou diverge para infinito.

Resposta

A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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